推 bajifox :謝謝 我想一下^^ 02/11 20:35
※ 引述《bajifox (嘖)》之銘言：
: http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/graduate/98/98047.pdf
: (D)
: 原來想說是用反函數定理
: 但是證完每個f'(x)都是invertible完以後卻發現不太對
: 反函數定理都只有在小小的neighborhood
: 就算做到onto(而且我好弱做不到)
: 兩個neighborhood的交集的部分又該怎麼確認他們的f^(-1)是相等的
: 謝謝
只做 f:|R^n → |R^n onto 部分的做法 給你看
要證 onto 重點在於此例 {f(x_n)} cauchy => {x_n} cauchy ----- (1)
假設 0 不在 f(|R^n) (不失一般性)
Let r = inf { || f(x) || | x 在 |R^n } .
Case 1 : r > 0
Choose {x_n} so that lim ||f(x_n)|| = r .
n→∞
Next , we choose a subsequence {y_n} of {x_n}
such that {f(y_n)} is a cauchy sequence .
Hence by (1) , there exists b in |R^n
{y_n}→b and ||f(b)|| = r .
f has a locally inverse function at b
so r ≠ inf { || f(x) || | x \in |R^n } = 0 →←
Case 2 : r = 0 .......同上可以證到存在 b , f(b) = 0 →←
因此 f 必須是 onto .
多打一些字 沒注意到....已修正 .
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: {x_n} be a sequence of non-negative real number
1
: satisfying x_(n+1) =< x_n + -----
n^2
: 則x_n是否一定會收斂?
原po第一題 已有板友大大們提供詳解 .
把之前推文寫詳細一點 .
n-1
Let a_n = Σ (1/k^2 ) - x_n = b_n - x_n ( n > 1)
k=1
(i) a_(n+1) － a_n = 1/n^2 － x_(n+1) + x_n ≧ 0
(ii) a_n ≦ Σ(1/n^2)
a_n ↗ a and b_n ↗ b
so x_n = ( b_n － a_n) → (b － a) .
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※ 編輯: keroro321 來自: 59.112.233.226 (02/11 07:50)