推 suhorng :推 02/10 23:04
推 Vulpix :漂亮，推！ 02/11 02:55
※ 編輯: herstein 來自: 88.77.138.154 (02/11 05:36)
※ 引述《bajifox (嘖)》之銘言：
: 1
: {x_n} be a sequence of non-negative real number
: 1
: satisfying x_(n+1) =< x_n + -----
: n^2
: 則x_n是否一定會收斂?
: 我猜是沒有 因為Cauchy sequence的條件只有一邊
: 但是畫圖想找反例又覺得好像隱隱有遞減= =
: 想請問該怎麼做
n^2>n(n-1), 所以 1/n^2 <1/(n-1)- 1/n
因此
x_(n+1) ≦ x_n + 1/(n-1)- 1/n
可知
x_(n+1)+1/n ≦ x_n + 1/(n-1),
定義數列y_(n)=x_(n+1)+1/n, n≧1。
則y_(n)≧1/n>0 且y_(n+1)≦y(n)，
因此數列(y(n))遞減有下界，因此收斂。因為(1/n)收斂至零，
所以
x_(n)=y(n)-1/n也收斂，且(x(n))與(y(n))具有相同的極限。
: 2
: http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/graduate/98/98047.pdf
: (D)
: 原來想說是用反函數定理
: 但是證完每個f'(x)都是invertible完以後卻發現不太對
: 反函數定理都只有在小小的neighborhood
: 就算做到onto(而且我好弱做不到)
: 兩個neighborhood的交集的部分又該怎麼確認他們的f^(-1)是相等的
要証明onto，你只需証明任給一個y, f(x)=y有解。
等價於你考慮g(x)=f(x)-y有零根。由於f滿足|f(x)-f(x')|>=C|x-x'|,
因此g也滿足。所以你現在只需要証明g(x)=0有解。
接下來就是接k大的作法考慮
inf {|g(x)|:x in R^n}。
會這樣想的理由也是在於如果存在x,使得g(x)=0，那麼自然的|g(x)|=0。
於是你希望研究min{|g(x)|}，但是極小值並不一定存在，但
保險的方法就是証明他存在，首先就是先考慮inf
: 謝謝
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