→ herstein :熊熊發現~~已經是假設存在性了XD 02/13 10:54
→ smartlwj :XD 02/13 18:27
※ 編輯: herstein 來自: 195.37.209.182 (02/13 23:09)
※ 引述《smartlwj (下次再努力)》之銘言：
: n 2 __
: Let Ω in R be open. Show that if there exists a function u ε C ( Ω )
: vanishing on (boundary)Ω for which the quotient
: 2
: ∫ |▽u|
: Ω
: ----------
: 2
: ∫ u
: Ω
: reaches its infimum λ, then u is an eigenfunction for the eigenvalue λ,
: so that △u + λu = 0 in Ω.
: 上次那題已解決，謝謝幫忙的版友.
: 再一次麻煩各位，請問這題應該怎麼下手呢?
如果你可以找到u使得△u + λu = 0，那麼你應該有regularity thm可以用。
△是elliptic operator。這個叫rayleigh quotient，你可以從Euler Lagrange
的角度去思考(Lagrange Multiplier):
假設|u|_L^2(Ω)=1，你等於要minimize |▽u|_L^2(Ω)^2。
這個functional的Euler Lagrange equation(Frechet derivative)就是△u
所以在加上你的constraint+ Larange multiplier thm=>△u + λu = 0
通常解這種functional的解作法都很固定
(1)你有norm bounded sequence=> Banach alaoglu thm=> weak limit exists
以本題來說:考慮inf L(u), L(u)=|▽u|_L^2(Ω)^2
則存在sequence u_k, |u_k|=1, 使得 L(u_k)->inf L(u)
接下來就是你的工作了..
(2)利用regularity証明 weak limit是你要的smooth解
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