推 herstein :可以用圓柱座標算....會快一點 02/13 23:46
Evaluate ∫∫∫ (x^2 + y^2)^n dxdydz , n€natural number
A
where A 是由 z=20 這個平面 和 z=x^2+y^2+4 這個拋物線所圍成的體積
A 就像一個彈頭一樣
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一開始我是用硬幹的
20 (z-4)^0.5 (z-4-y^2)^0.5
原式 = ∫ ∫ ∫ (x^2+y^2)^n dxdydz
4 -(z-4)^0.5 -(z-4-y^2)^0.5
可是(x^2+y^2)^n對x的積分沒有general formula
所以要用二項式定理展開，就算展開來後，把x的積分範圍帶進去就醜到炸...
所以放棄
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後來去查一下高斯散度定理，由於我是第一次用...雖然最後做出來
想請版友們看一下過程跟答案對不對
(過程也很複雜...順便請問有更快的方法嗎)
由高斯散度定理：
∫∫∫ (P_x + Q_y + R_z) dxdydz = ∫∫ P dydz + Q dxdz + R dxdy
A Z(A的表面)
令P=Q=0 , R = z(x^2+y^2)^n
所以原式 = ∫∫ z(x^2+y^2)^n dxdy
Z
因為Z是彈頭的表面，所以把Z拆成彈頭的平的面P與凸的面T
∫∫ = ∫∫ + ∫∫
Z P T
其中∫∫ z(x^2+y^2)^n dxdy = 20 ∫∫(x^2+y^2)^n dxdy (因為在P面，z=20)
P P
2π 4
而用極坐標，∫∫(x^2+y^2)^n dxdy = ∫ ∫ r^n * r drdθ (P面的圓半徑是4)
P 0 0
2^(4n+4)
這算出來是 ───── π ----(1)
n+1
而 ∫∫ z(x^2+y^2)^n dxdy 就把T給參數化
T
T = ((z-4)^0.5 * cosθ , (z-4)^0.5 * sinθ , z) where z = 4→20 , θ= 0→2π
而 dxdy = │J│dzdθ , │J│算出來是1/2
2π 20
所以 ∫∫ z(x^2+y^2)^n dxdy = ∫ ∫ z(z-4)^n * 1/2 dzdθ
T 0 4
把z寫成z-4+4
2^(4n+8) 2^(4n+6)
所以算出來是( ───── + ───── )π ----(2)
n+2 n+1
最後把(1)和(2)加起來，結果就是：
2^(4n+8) 2^(8n+10)
( ───── + ────── ) π
n+2 n+1
謝謝！
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