Re: [工數] ode

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《qq0212q (劉小妍)》之銘言：
:      2
: (x+2)  y''-(x+2)y'+y=3x+4
: 我是令z=x+2
:             2
: 原式改寫成:z y''-zy'+y=3z+2

              這裡應該是 3z-2

: 先解得yh=c1z+c2z(lnz)
: 但是接下來要用參數變異法卻一直積不出來
: 不知道那裡錯了....
:                                               2
: ans:y=c1(x+2)+c2(x+2)ln(x+2)+1.5(x+2)[ln(x+2)] -2
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                                 az + b
    我猜原 po 應該是卡在型如  ∫ ────*ln(z)  dz  的不定積分
                                   z^2

    乍看之下好像會沒辦法算出來，不過實際下去算用分佈積分就可以了:


     az + b                            b                a*ln(z)     b
  ∫ ────*ln(z) dz =  [ a*ln(z) - ── ]*ln(z) - ∫ ──── - ── dz
       z^2                             z                   z       z^2

                                       b            a*[ln(z)]^2     b
                       = [ a*ln(z) - ── ]*ln(z) - ────── - ── + C
                                       z                 2          z

                         az*[ln(z)]^2 - 2b*ln(z) - 2b
                       = ────────────── + C
                                     2z
    後續你應該會算了


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  <另解>

        (z^2)y''-zy'+y = 3z-2

    =>  [z*(y/z)']' = 3/z - 2/z^2

    => (y/z)' = 3*ln(z)/z + 2/z^2 + c1/z

    => y = (3/2)z[ln(z)]^2 - 2 + c1*zln(z) + c2*z

         = (3/2)(x+2)[ln(x+2)]^2 - 2 + c1*(x+2)ln(x+2) + c2*(x+2)


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◆ From: 140.113.211.139
→ Heaviside   :這招會不會太難了一點@@
推 handsboy    :那個另解好威@@
推 qq0212q     :謝謝d大，解二的解法是不是跟一階ode的組合法利用
→ qq0212q     :利用一樣的觀念下去做?
→ Heaviside   :他的解法是高階正合ODE 很難的方法 眼力要夠
→ doom8199    :to qq大: 是的，基本上可以看成是一階線性 ode
→ doom8199    :        解法的推廣，只是二階以上的 general form
→ doom8199    :         沒有漂亮的算法，只能 case by case 去解
→ doom8199    :to H大: 那個方法其實不難，只要有齊性解，可以馬上
→ doom8199    :        寫出那個合併完的式子。