Re: [線代] 一題考古題

[hjmeric (Jimmy)]

※ 引述《silentsecret ()》之銘言：
: 若A、B為n*n實矩陣，AB=BA
: 證明A、B有一共同的eigenvector
: 請問大家了!
這個應該是錯的敘述

A=[1 0]  B=[0 1]  AB=BA=B
  [0 1]    [1 0]

eigenvector of A={[1] [0]}
                  [0] [1]

eigenvecto of B ={[1] [1 ]}
                  [1] [-1]

並沒有共同的eigenvector，

這題好像是台大某一年的考題。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.112.217.1
推 jack0711    :這題是在考相似矩陣,若AB=BA <=> A.B可同步對角化
→ jack0711    :即若AB=BA則存在一組相同的eigenvectors將A.B對角化
→ hjmeric     :我知道我哪裡寫錯了，但還是留著好了
→ hjmeric     :但這題應該還是要有前提 是可以對角化才行吧?
→ jack0711    :一樓我打錯是同步對角不是相似@@
推 jack0711    :要有前題,A.B都要可對角化,敘述才會成立
→ jack0711    :不過他這題考證明,總不能說此題敘述有誤就交卷吧@@
→ hjmeric     :這題是寫實矩陣 是不是表示eigenvector也要是實向量?
→ hjmeric     :如果是的話可以找B=旋轉90度的映射矩陣
→ hjmeric     :這樣B就沒有eigenvector
→ hjmeric     :但如果 F=C就要另找反例了
推 silentsecret:題目是說只要證存在一個
→ jack0711    :實矩陣不一定eigenvectors都是實向量
→ hjmeric     :我是覺得舉反例就可以了 因為他少給前提
推 jack0711    :什魔是旋轉90度的"映射矩陣"啊??
→ jack0711    :這題只要補上A.B都可以對角化敘述就成立了
→ hjmeric     :我多打"映射" 我是指B=[0 -1;1 0]
→ Sfly        :eigenvector可以是over C的話 應該會對
推 jack0711    :這樣就會有虛數特徵值,虛數特徵向量
→ Sfly        :這題並沒有要證明同時對角化那麼強的性質
→ jack0711    :可對角化,敘述仍然成立
→ hjmeric     :我重打一篇了，請幫忙看看有沒有錯，謝謝。