Re: [線代] 一題考古題

[hjmeric (Jimmy)]

※ 引述《hjmeric (Jimmy)》之銘言：
: ※ 引述《silentsecret ()》之銘言：
: : 若A、B為n*n實矩陣，AB=BA
: : 證明A、B有一共同的eigenvector
: : 請問大家了!
: 這個應該是錯的敘述
: A=[1 0]  B=[0 1]  AB=BA=B
:   [0 1]    [1 0]
: eigenvector of A={[1] [0]}
:                   [0] [1]
: eigenvecto of B ={[1] [1 ]}
:                   [1] [-1]
: 並沒有共同的eigenvector，
: 這題好像是台大某一年的考題。

我上面這個反例舉錯了

題目如果是over R 那B=[0 -1]
                     [1  0]

會是反例，但是，我看那年的考古題是over C，

所以A 和B 都必存在至少一eigenvector，

假設 Bv=λv, BAv=ABv=Aλv=λAv， 所以Av也是eigenvector of B

對應的也是λ，

考慮 S=span{v,Av,...,A^(m-1)v}, dim(S)=m,

claim (A^m)v is a common eigenvector of A and B.

B的部分剛剛證過 因為 v是eigenvector，則Av也是。

(A^m)v=c_1*v+c_2*Av+...+c_m*A^(m-1)v

A(A^m)v=A(c_1*v+c_2*Av+...+c_m*A^(m-1)v)

=λ(c_1*v+c_2*Av+...+c_m*A^(m-1)v)=λ(A^m)v.






--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.112.217.1
→ silentsecret:如果Av=0呢?
→ hjmeric     :這樣v就是我們要找的，對A來說λ=0。
推 jack0711    :有點奇怪耶,這樣最後不就推到 λ=1 ??
→ hjmeric     :為什麼λ=1?
推 jack0711    :(A^m)v=λ(A^m)v => λ=1
→ hjmeric     :你好像少看到一個A，是A(A^m)v=λ(A^m)v
推 jack0711    :看到上一行@@,SORRY
→ jack0711    :為什麼可以確定dim(S)=m?
→ jack0711    :循環子空間不一定FULL RANK吧?
→ hjmeric     :就找到最小的m就停下來，因為是有限的子空間，
→ hjmeric     :所以一定可以找到這樣的m。
→ hjmeric     :其實我這題還是證錯...剛剛才發現@@