作者ak47love77 (Yo)
看板Math
標題Re: [線代] 幾道關於rank的考古題
時間Sun Feb 19 20:19:15 2012
※ 引述《playmypig (玩我豬)》之銘言：
: 因為在剛剛學rank, 有幾道題不自量力想預習一下, 希望版友說說解題方向, 不用花時間
: 寫題解啊, 因為怕阻礙了各位時間, 給方向我再做下去即可, 謝謝啊!
: (1) A是一個 m x n matrix,m < n. 證若rank(A) = m, 則有matrix B, 它是 n x m的,
: 令得 AB=I_m
: ( 我的想法是: rank(AB)<=rankA=m
: 另一方面: rank(B)=min{n,m}=m
應該是rank(B)<=min{n,m}
: 再有:rank(AB)<=rankB=m
: 所以迫使: rank(AB)=m )
好像沒有迫使...
<以下證明>
因為rankA=m=列數，表示A的列向量彼此是線性獨立
假設第1列到第m列叫做v1,v2,.....,vm好了
先看v1就好
v1一定可以變成一個與v2~vm都垂直的向量，令做u1
(做法類似我們做Gram-Schmidt那樣)
同理vi也可以變得除了與自己之外的其他列都垂直，令做ui
那令C=[u1 u2 ...um](就是ui是第i行這樣)
這樣AC就已經是對角矩陣了
要變成單位矩陣就是把每一行調整一下係數
所以令B=[k1*u1 k2*u2 ....km*um]
ki表示一個適當的實數
: 其餘以下各題, 剛不太懂起手, 要向各位賜教了:
: (2) 證 A 是一個 m x n matrix的rank最多是1 若且唯若 A=BC,
: B是 m x 1 matrix 而C是1 x n matrix.
反向很簡單 只要你隨便找一個m*1矩陣與1*n矩陣相乘，大概就知道是怎麼一回事了
剩下只是說要怎麼寫清楚證明過程的問題
正向其實也不難，既然rank<=1，先考慮rank=0的情形，這個就不用證了吧
那如果rank=1，表示至少有一列向量不是零向量，就假設是第i列
而剩下其他列又不能與它線性獨立，所以只能是第i列的一個倍數
設第j列是它的kj倍
那就令C=第i列，B=[k1 k2 ....km]^t
: (3) 假設A是rank 1的方矩陣, 證A^2 = cA where c is a scalar.
就用(2)的性質不難證出
: (4) A是m x n matrix, B是n x m的matrix. 證:若m不等如n, 即AB和BA不會是identity
: matrices.
這個可能你漏打條件，或者我解讀錯誤，因為已經很明顯跟(1)矛盾了
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◆ From: 114.37.123.88
→ ak47love77 :不好意思第一題寫錯 等等改.. 02/19 20:22
※ 編輯: ak47love77 來自: 114.37.123.88 (02/19 20:34)
※ 編輯: ak47love77 來自: 114.37.123.88 (02/19 20:36)
※ 編輯: ak47love77 來自: 114.37.123.88 (02/19 20:38)
→ ak47love77 :改好了 有錯請指正 02/19 20:38
→ ak47love77 :應該說用Gram-Schmidt的想法 因為還是不一樣的東西 02/19 20:49
※ 編輯: ak47love77 來自: 114.37.123.88 (02/19 20:51)
推 playmypig :謝謝你的回覆啊,題二的正向明白了.但題一還未學到那 02/19 20:54
→ playmypig :麼深呢,所以看不到,有沒有較顯淺的證法呢? 02/19 20:54
→ ak47love77 :恩~我也覺是可以用更簡易點的方法 我再想一下! 02/19 21:00