推 peggie3036 :Bingo 正解!! 02/19 23:59
第一題有更簡單的方法
以下A'表示A的轉置
rank(A*A')=rank(A')=rank(A)=m
而A*A'是m*m矩陣
這樣表示A*A'可逆，設其反矩陣=C
則A*A'*C=I_m
所以只要讓B=A'*C就OK了
附帶一下rank(A'A)=rank(A)的證明(A是任意m*n矩陣)
1. if Ax=0 then A'Ax=0
2. if A'Ax=0 then x'A'Ax=0 => (Ax)'*(Ax)=0 => Ax=0
3. by1. and 2. ker(A)=ker(A'A)
so rank(A)=n-nullity(A)=n-nullity(A'A)=rank(A'A)
where nullity=dim(ker(A))
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