推 yusd24 :是台大的PDE助教(抖) 02/21 10:06
推 impression :謝謝c大 02/21 12:40
→ chy1010 :一樓 = = 02/21 13:18
推 herstein :推大師 02/21 23:40
※ 引述《impression (神拳( =.=) =●)》之銘言：
: 題目 (d為偏微符號）
: （d^2)u/dx^2-(d^2)u/dy^2+2(du/dx)+u=e^-x
: 請問為何齊次解是
: u(x,y)=e^-x[F(y-x)+G(y+x)]
: 請大大幫解說一下，e^-x怎麼出現的！
: 希望可以詳細計算式~謝謝
u_xx - u_yy + 2u_x + u = e^-x
觀察到對 x 微分的項是 u_xx + 2u_x + u 剛好可以湊平方:
u_xx + 2u_x + u = (d/dx + 1)^2 u
想解 (d/dx + 1) u = 0, 會發現積分因子是 e^x
於是將原本的式子通乘上 e^x 則有
e^x u_xx + 2e^x u_x + e^x u - e^x u_yy = 1
=> (e^x u)_xx - (e^x u)_yy = 1
於是 homogeneous 的解直接套用 wave equation 的解有
e^xu = F(x-y)+G(x+y) => u(x,y) = e^{-x}[F(x-y)+G(x+y)]
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擁懷天地的人，有簡單的寂寞。
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