推 Jerrynet :有神快拜 02/23 15:35
推 handsomepow :orz 02/23 17:02
推 lpy :我把這個矩陣作2*2~4*4看規律猜= = 02/23 19:47
推 jacky7987 :超強QQ 02/24 09:29
※ 引述《mqazz1 (無法顯示)》之銘言：
: 1. suppose A in R^(3*3)
: and det(xI - A) = x^3 - x^2 + 3x - 2,
: then det(xI - A^2) = ?
: 2. [2^0 2^1 2^2 2^3 2^4 2^5]
: [2^1 2^0 2^1 2^2 2^3 2^4]
: T = [2^2 2^1 2^0 2^1 2^2 2^3] //2^3 表 2的3次方=8
: [2^3 2^2 2^1 2^0 2^1 2^2]
: [2^4 2^3 2^2 2^1 2^0 2^1]
: [2^5 2^4 2^3 2^2 2^1 2^0]
: det(T) = ?
: 請問這兩題怎麼解呢?
: 謝謝
---
2.
┌ -1 2 0 0 0 0 ┐
-1 1 │ 2 -5 2 0 0 0 │
注意到 T = ── │ 0 2 -5 2 0 0 │
3 │ 0 0 2 -5 2 0 │
│ 0 0 0 2 -5 2 │
└ 0 0 0 0 2 -1 ┘
把 T 延伸到 n by n case
-1
且考慮新的矩陣 B , 其中 entry B(i,j) = ┌ 3T (i,j) if (i,j)≠(1,1)
└ -5 if (i,j)＝(1,1)
令 B(n) is the determinant of the n by n matrix B
-1
A(n) is the determinant of the n by n matrix T
則 B(n) = (-5)*B(n-1) - 4*B(n-2) with B(1) = -1
B(2) = 1
n
解得 B(n) = (-1)
1
因此 A(n) = ──[ (-1)B(n-1) - 4B(n-2) ]
3^n
= (-3)^(1-n)
即 det(T) = 1/A(n) = (-3)^(n-1)
--------
說真的，若沒有跑過軟體，很難想像 T^(-1) 會那麼漂亮 XD
┌ A B ┐
若是考試的話，我會直接把 T 看成是 │ │
└ C A ┘
-1
所以 det(T) = det(A)*det(A - CA B ) 下去硬幹
不過矩陣 B、Ｃ 的 rank=1 , 或許會有更漂亮的做法
補充一下， toeplitz matrix 在通訊領域上蠻常用的
可以找看看相關的文獻論文，應該會有不少拆解或是算 det 的快速演算法
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※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.211.139 (02/23 14:33)