※ 引述《k32314282 (毛哥)》之銘言：
: ※ 引述《iamOrz (I am Orz)》之銘言：
: : 對每一個整數n>1，令F(n)為方程式sinx=sin(nx)在區間[0,π]中解的個數。
: : 2007
: : Σ F(n)之值是多少? ans:2016532
: : n=2
: : 請指教 謝謝
: 先找規律
: n=2 sinx=sin(2x) => 3個交點 (交點個數=n+1
: n=3 sinx=sin(3x) => 4個交點 (交點個數=n+1
: n=4 sinx=sin(4x) => 5個交點 (交點個數=n+1
: n=5 sinx=sin(5x) => 5個交點 (這裡會發現n=5,9,13...都會少一)
: 前三個不算的話 總共有(2006-3)/4=500...3 餘1的數也會少一 故有501需要扣掉
: 2007 2007
: 所以總和=ΣF(n)=Σ(n+1)-501=2016532
: n=2 n=2
0 = sin(nx)-sinx = 2sin((n-1)x/2)cos((n+1)x/2)
=> (n-1)x/2 = kπ, (n+1)x/2 = (2t+1)π/2
=> x = 2kπ/(n-1), (2t+1)π/(n+1), k = 0,...,[(n-1)/2], t = 0,...,[n/2]
[a]是不超過a的最大整數
因此x有[(n-1)/2]+1+[n/2]+1 = n+1個解
但要扣掉2kπ/(n-1)=(2t+1)π/(n+1)的情形
利用k,t的範圍
容易解得2kπ/(n-1)=(2t+1)π/(n+1)只有n = 4r+1的時候有解k=t=r
因此sin(nx)=sinx的解是 n if n=4r+1
n+1 otherwise
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