Re: [其他] 矩陣+ode

[harveyhs (Hango)]

※ 引述《gggg9999 (居九)》之銘言：

解下列方程式

        4  2      3e^(t)
   X'=[      ]X+[        ]
        2  1       e^(t)


另外請問    無限大     dx
          [         ---------
            0        1+x^(4)


如何解呢  是要用復利葉嗎

1.
  線性非齊次方程：先找齊次通解再找非齊次特解

a.齊次通解：對於|X＞'=A|X＞，找到A的eigenvalue, λ_1,...,λ_n

  並解出對應的eigenvector |s_1＞,...,|s_n＞（考慮complete的情況）

  則通解為c_1|s_1＞exp[λ_1t]+...+c_n|s_n＞exp[λ_nt]

  在這邊eigenvalue是0, 5
                         [-1 ]  [2]
  對應的eigenvector分別是[   ], [ ]
                         [ 2 ]  [1]
b.非齊次特解：variation of parameter

  設解的形式為sum over c_k(t)|x_k＞,其中|x_k＞=|s_k＞exp[λ_kt]

  則解可以寫成一個矩陣乘積

  |X＞=M|c＞,其中|c>是c_i為分量排成的column vector, M=[|x_1＞...|x_n＞]

  而且M有一個性質叫做M'=AM（他好像有一個名字叫做fundamental matrix的樣子忘了@@

  對t微分|X＞'=M'|c＞+M|c＞'=AM|c＞+M|c＞'=A|X＞+M|c＞'

  由原方程|X＞'=A|X＞+|g＞,|g＞是非齊次項
                               -1
  可得M|c＞'=|g＞也就是|c＞=∫M  |g＞dt

  在此
    [-1  2exp[5t]]
  M=[ 2   exp[5t]]

  剩下積分代入應該可以了@__@


2.分母可分解為(x^2+√(2)x+1)(x^2-√(2)x+1)

  部分分數分解後就可以做了

  當然誠如推文所說用residue定理也是可以@_@

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.249.241
※ 編輯: harveyhs        來自: 140.112.249.241      (02/29 02:40)
推 jack0711    :是fundamental matrix沒錯
→ jack0711    :不過用參數變異法有點大材小用的感覺@@
是有點，但做習慣就直接拿起來做了XDDD
推 gggg9999    :對於|X＞'=A|X＞， 請問這行是什麼意思@@
推 gggg9999    :2.部分分式 可以寫詳細一點嘛@@
喔好@@先去上課回來再補
※ 編輯: harveyhs        來自: 140.112.249.241      (02/29 08:31)
推 gggg9999    :感謝啦XDDD  我不知道怎麼寫出分解式
→ gggg9999    :然後我分不清楚根號是2 or 2x or 2x+1
→ harveyhs    :根號2，是說乘開看看就知道啦XD
推 gggg9999    :其實我三種都自己乘過了ˊˋ 謝謝各位大大!!
1. |X＞'=A|X＞那段......欸對我個人其實算是解線性方程組的SOP。

   就先找該矩陣的eigenvalue, 找eigenvector，解是他們的線性組合，

   jack0711大在另外一篇有使用對角化的方法解將此系統decouple

   他們意思是一樣的，一個是沒換基底，直接寫成eigenvector的線性組合

   另外一個是換eigenvector為基底，你看到的就是eigenmode的疊加。

   看個人習慣怎麼詮釋，是說最好的習慣應該還是decouple後還歸一。

2. 部分分式分解是背景知識最少但也繁雜的方法

  （所謂conservation of mathematical difficulty XD）

   有其他先進用了比較高竿的方法這就當作參考就好了吧@_@

          1
  ∫dx －－－
        x^4+1

   x^4+1=(x^2+√(2)x+1)(x^2-√(2)x+1)=(x-(-a+b))(x-(-a-b))(x-(a+b))(x-(a-b))

   a=1/√2, b=i/√2

   我期待
     1         1           1            1          1
   －－－=A－－－－－+B－－－－－+C－－－－－+D－－－－－
   x^4+1   (x-(-a+b))  (x-(-a-b))  (x-(a+b))   (x-(a-b))

   把x^4+1乘過來，4個根一一代進去可解得A, B, C, D

   A=(1-i)/4√2, B=(1+i)/4√2, C=-(1+i)/4√2, D=-(1-i)/4√2

   再代進去算積分就好了，我的建議是A, B兩個合起來積分，C, D兩個合起來積分

   （否則又ln又i的）

   π會被arctan貢獻出來。

※ 編輯: harveyhs        來自: 140.112.249.241      (02/29 18:03)
推 gggg9999    :3Q  趕緊來算算看!!