Re: [其他] 矩陣+ode

[jack0711 (小修)]

※ 引述《gggg9999 (居九)》之銘言：
: 解下列方程式
:         4  2      3e^(t)
:    X'=[      ]X+[        ]
:         2  1       e^(t)
: 另外請問    無限大     dx
:           [         ---------
:             0        1+x^(4)
: 如何解呢  是要用復利葉嗎@@
: 感謝大大了!!

1.
                  4 2        T
Let x'=Ax+b , A=[     ] = SDS
                  2 1

其中
     1   1 2          0 0       3e^t
 S=----[      ] , D=[     ],b=[      ]
   √5  -2 1          0 5        e^t

Let x=Sy

帶入原式

       T
 Sy'=SDS Sy+b

=>       T
  y'=Dy+S b

=>
  y1'=(1/√5)*e^t

  y2'=5y2 + (7/√5)*e^t

=>

  y1=(1/√5)*e^t+c1

  (D-5)y2=(7/√5)*e^t , D表對t微分運算子

=>
  y1=c1+(1/√5)*e^t       ...(1)

  y2=c2*e^5t-(7/4√5)*e^t ...(2)

又 x=Sy

所以

x1=(1/√5)y1+(2/√5)y2

x2=(-2/√5)y1+(1/√5)y2

代入(1).(2)即為解


    ∞   1               ∞    1
2.∫  -------- dx = 0.5∫  ---------dx = 0.5*K
    0  x^4 + 1          -∞ x^4 + 1

利用留數定理

         1
K + ∫---------dz =2πi[Res(e^iπ/4)+ Res(e^i3π/4)]
     c z^4 + 1

ps.極點為z^4=e^i(2n+1)π

   =>z=e^i((2n+1)/4)π,n=0.1.2.3 四個極點

   其中,上半圓內極點為n=0.1,取Res(e^iπ/4).Res(e^i3π/4)

由於 deg(x^4+1)= 4 > deg(1)+1 = 1


          1
所以∫---------dz = 0
     c z^4 + 1

故

 K=2πi[Res(e^iπ/4)+ Res(e^i3π/4)]


  =2πi[lim      (z-e^iπ/4)*(1/(z^4+1)) + lim         (z-e^iπ/4)*(1/(z^4+1))]
       z->e^iπ/4                           z->e^i3π/4

  =2πi[lim       1/(4z^3) + lim         1/(4z^3) ]
       z->e^iπ/4            z->e^i3π/4

  =(π/2)i[exp(-i3π/4) + exp(-i9π/4)]

  =(π/2)i[-i/√2 -i/√2]

  =π/√2


原式=0.5K=π/(2√2)

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◆ From: 140.113.123.237
推 gggg9999    :請問S^T  =  S^-1嗎?
推 jacky7987   :轉置 因為它是對稱矩陣
→ gggg9999    :我沒讀到轉置這方法  不過我用對角化
→ gggg9999    :s^-1也是算是那個d來
→ gggg9999    :想請問第一題答案就是x1  x2囉?
→ jack0711    :第一題答案是X1.X2沒錯,不過我還沒做完,自己帶入Y1.Y
→ jack0711    :Y2就是答案了
→ jack0711    :實對稱矩陣的性質->可以正交對角化
→ jack0711    :不過如果你不知道,用S^(-1)算也可以
→ jack0711    :S^T  =  S^-1成立裡面行向量要歸一正交
推 gggg9999    :好的  謝謝XD