Re: [微積] 一些小問題

[Heaviside (嘿V賽)]

※ 引述《atarspko (笨風)》之銘言：
: 1.
:  2   根號(4-x^2)
: S  S                 根號(5-x^2-y^) dydx
:  0  0
: 這個可以用正規的極座標轉換...
: 我記得我寫過一個題目...(有點忘記大概
: 解到一半卡住 印象記得是
: S y^2 根號(5-x^2-y^2) dy   請問沒有對x積分 可以算得出來嗎??
: (y範圍已經忘了)
: 2.
: S 1/ (x^4+x^6) dx
: 看似簡單 卻不好拆解  請問怎麼踏出第一步的想法...

Q2:
     1                 1              1     1         1
∫────dx  = ∫─────dx = ∫(── - ── + ────)dx
  x^4+x^6         x^4(1+x^2)         x^4    x^2    x^2+1

                                  -1       1
                               = ─── + ── +arctan(x)+c
                                  3x^3     x

Q1:
沒有對x積分 當然積的出來
但題目的y的次方 是多少？
------------------------

假設題目為
             2  f(x)
            ∫ ∫   g(x,y)dydx
             0  0

其中 f(x)=sqrt(4-x^2)

     g(x)=sqrt(5-x^2-y^2)

由繪圖知
本題為g(x,y)在x^2 +y^2 =4 圓上的積分，且範圍在第一象限

令x=2cos(θ)
  y=2sin(θ)


原式=> ∫∫g(x,y)dydx = ∫∫g(2cosθ, 2sinθ)rdrdθ
         R                R

                         π/2  2
                      = ∫    ∫ drdθ=區域內面積=π
                         0     0



--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.243.132.15
※ 編輯: Heaviside       來自: 111.243.132.15       (02/29 20:12)
推 atarspko    :我研究一下 謝謝!!!!!
推 atarspko    :Q2拆的好利害...原來要這樣拆
→ atarspko    :所以dx 與 dxdy 只是差別於範圍問題 可以這樣解釋嗎
Q2使用Heaviside覆蓋法 (Heaviside cover-up method)
  可快速解決部份分式
------
推文不能這樣解釋

dxdy=dA=區域上的微小面積

dx為x方向的 微小段

二者定義不同
※ 編輯: Heaviside       來自: 111.243.132.15       (02/29 21:02)
※ 編輯: Heaviside       來自: 111.243.132.15       (02/29 21:02)
推 gggg9999    :可以請教一下Q2的拆法的觀念 或 定理嗎
→ gggg9999    :要怎麼從部分分式前 拆成部分分式的想法= ="
→ harveyhs    :畫圖釐清積分範圍找適當的積分變數
→ Heaviside   :Heaviside覆蓋法 用講的比較快 用打字的不容易理解
→ Heaviside   :請參閱 http://ppt.cc/torQ
推 gggg9999    :原來這就是Heaviside覆蓋法 這我會但不知道叫這名字
→ gggg9999    :我想問的是1/(x^2)怎麼出來的@@

         1           A         B          C
──────── = ─── + ──── + ───
(x^2)^2 (x^2+1)     x^4     (1+x^2)      x^2

由Heaviside覆蓋法知

A=B=1

由代值法知

x=1代入得 0.5 =1+0.5+C => C=-1

得
         1           1         1         1
──────── = ─── + ──── - ───
(x^2)^2 (x^2+1)     x^4     (1+x^2)      x^2

另解(較慢 但可解決多數部分分式)

         1           A         B
──────── = ─── + ──── +E(s)
(x^2)^2 (x^2+1)     x^4     (1+x^2)

由Heaviside覆蓋法得A=B=1

                     -1
代回整理可得E(s) = ───
                    x^2
                                                   3s+5
此法多運用在分母有2個(含以上)多次函數相乘 ex: ────────
                                              (x+1)^2 (x-2)^3

※ 編輯: Heaviside       來自: 111.243.132.15       (02/29 21:34)
推 atarspko    :推推!!!
→ Heaviside   :本題因分母有x^2 否則一般代值法是代0較易
推 gggg9999    :QQ太棒了  感謝!!
推 rich780501  :