推 lilygarfield:好耶~ 變化在指數的底... ^^b 棒~ 03/01 21:25
※ 引述《lilygarfield (好想有個女朋友喔)》之銘言：
: 3^(2n+1) + 5^(2n-1) 證明為 16 的倍數
: n 為正整數
: 請勿使用數學歸納法證
: 還有什麼好方法呢？ 0.+
: 願廣博多聞...
: 謝謝題典... ^^"
提供一個高中程度可以接受的解法：
3^(2n+1) + 5^(2n-1)
= (4-1)^(2n+1) + (4+1)^(2n-1)
因為 4^2 = 16
所以由二項式展開後4^2以上的項皆為16的倍數
原式 = 16*p + (2n+1)*(4^1)*(-1)^(2n) + 1*(4^0)*(-1)^(2n+1)
+ 16*q + (2n-1)*(4^1)*[1^(2n-2)] + 1*(4^0)*[1^(2n-3)]
= 16*(p+q) + 4*[(2n+1) + (2n-1)] + 1*[(-1) + 1]
= 16*(p+q) + 4*(4n) + 0
= 16*(p+q+n)
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