推 oldblackwang:推遞迴!! 03/01 20:21
推 lilygarfield:a_(k+2)= 8a_(k+1) - 15a_k ←這行怎麼弄的 >"< 03/01 21:52
→ ttinff :令a_(k+2)=m*a_(k+1)+n*a_k,分別對3^k,5^k做聯立 03/02 00:32
推 lilygarfield:謝謝樓上... 03/02 00:55
推 agga :乘5最漂亮 03/02 08:50
※ 引述《ckchi (飄)》之銘言：
: ※ 引述《lilygarfield (好想有個女朋友喔)》之銘言：
: : 3^(2n+1) + 5^(2n-1) 證明為 16 的倍數
: : n 為正整數
: : 請勿使用數學歸納法證
: : 還有什麼好方法呢？ 0.+
: : 願廣博多聞...
: : 謝謝題典... ^^"
: 提供一個高中程度可以接受的解法：
: 3^(2n+1) + 5^(2n-1)
: = (4-1)^(2n+1) + (4+1)^(2n-1)
: 因為 4^2 = 16
: 所以由二項式展開後4^2以上的項皆為16的倍數
: 原式 = 16*p + (2n+1)*(4^1)*(-1)^(2n) + 1*(4^0)*(-1)^(2n+1)
: + 16*q + (2n-1)*(4^1)*[1^(2n-2)] + 1*(4^0)*[1^(2n-3)]
: = 16*(p+q) + 4*[(2n+1) + (2n-1)] + 1*[(-1) + 1]
: = 16*(p+q) + 4*(4n) + 0
: = 16*(p+q+n)
原式乘上5 = 15*9^n + 25^n = 15*9^n + (9+16)^n = 16*9^n +16k
另解:
Let a_k=3^(k+1)+5^(k-1)
then a_(k+2)= 8a_(k+1) - 15a_k
又a_k都是偶數, so a_(k+2)=a_k mod 16
a_2 = 3^3+5=32. Hence 16|a_2k
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※ 編輯: Sfly 來自: 76.94.119.209 (03/01 15:09)