[線代] 關於A X (B X C)=(A˙C)B-(A˙B)C

[yasfun (耶死放)]

關於這個等式的證明

請問有沒有非設座標(設A=(a1,a2,a3),...)的證法> <

(以下打的大寫英文代表向量，小寫英文代表常數(係數積))


目前有兩個想法

想法1

假設B,C不平行

設A X (B X C)=sB + tC(由定義)

兩邊同時內積A

可得0=s(A˙B) + t(A˙C)


但列不出另外一條解s,t

也不能亂代A,B,C因為不確定s,t和A,B,C是否有關(當然最後發現是無關的)

有想過既然確定s,t比例就確定A X (B X C)的方向了但不確定長度

可是等式兩邊同時取長度左邊很醜Orzzzz

於是就卡住了XD




想法2

可以假設A在BC平面上

(因為A的垂直平面BC的component對等式兩邊貢獻都是零)

假設B和C不平行

所以可以設A=xB+yC

可得

A˙B=x(B˙B)+y(B˙C)

A˙C=x(B˙C)+y(C˙C)


解聯立得

x=[(A˙C)(B˙C)-(C˙C)(A˙B)]/[(B˙C)(B˙C)-(B˙B)(C˙C)]

y=[(A˙B)(B˙C)-(B˙B)(A˙C)]/[(B˙C)(B˙C)-(B˙B)(C˙C)]

而A X (B X C)=(xB + yC) X (B X C)=xB X (B X C) + yC X (B X C)

然後根據定義B X (B X C)會在BC平面上

根據畫圖B X (B X C)會和C在B的不同側

(這邊我有個疑惑，就是有沒有更精確的說法說明他們兩個會不同側)

所以B X (B X C)會和[(C˙B)/(B˙B)]B - C平行且同向

考慮長度後知B X (B X C)=(C˙B)B - (B˙B)C

然後代回xB X (B X C) + yC X (B X C)並把x,y代掉即可得原等式成立

關鍵就是不確定B X (B X C)的化簡有沒有更好的解釋方法

(我不想用設component的方法爆開> <)





所以想請問大家有沒有更好的證法或想法呢XD


感謝大家耐心看完^^

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◆ From: 140.112.217.1
推 G41271      :Arfken有
推 qna         :Arfken大概是δ-ε的寫法
推 qna         :想法2的假設..................不太好
→ keroro321   :B X (B X C)可以直接算啊 (利用與B,C內積)
推 euphrate    :google : "向量外積與四元數"
→ yasfun      :感謝樓上各位!!哈我笨了沒想到BX(BXC)是可以算的XD