※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 如果f在[a-1,a+1]連續
: 則定義 M(r)：(0,1] → R by M(r) = sup{f(x)│x€[a-r,a+r]}
: 藉由極值定理知道M(r)是well-defined的
: 我想證：
: 1. M(r) 在(0,1]連續
: 2. lim M(r) 存在且等於 f(a)
: r→0+
: -----------------------------
: 想法：
: 第一點只是猜測，感覺會對
: 第二點的話，知道當r從1到0+時，M(r)是遞減的
: 而我已經證S={M(r)│r€(0,1]}是有界集合
: 所以存在最大下界inf S
: 且證得lim M(r)存在且等於inf S
: r→0+
: 所以只剩下證inf S = f(a)
: 可是就回到跟第一點一樣的問題，不知道如何去估計
: 還是有人可以直接證第二點???
稍微寫個大概
基本上問題是出在兩端
如果最大值不發生在兩端，i.e. M(r)>f(a-r), M(r)>f(a+r)
那你可以很簡單的用 f 的連續性證明：f 在端點附近的值都小於 M(r)，
這會導致 M 在 r 這點是連續的。
而如果最大值發生在兩端，如果有一邊比較小就用上面的方法處理
另一邊或兩邊都是最大值的情形，i.e. M(r)=f(a-r)=f(a+r)
則一樣使用 f 的連續性，f 在端點附近的值和 M(r) 的差都很小
這一樣會導致 M 在 r 是連續的。
（細節寫起來應該很瑣碎，不過概念很簡單。）
而第二點事實上是非常顯然的
因為 M(r)=f(x_r) for some x_r in [a-r,a+r]
而 f 在 a 那點是連續的…
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