[分析] 兩題點拓證明(分別出自拓樸學導論(趙文敏)p.10&p.24)

[honsan (honsan)]

1. 設X為一非空集合，若函數d: X*X->R滿足下列二條件:

   a. 對任意點x, y屬於X，d(x, y) = 0的充要條件為x = y

   b. 若x，y，z屬於X，則d(x， z)<=d(x, y) + d(z, y)

   試證：d為X上的一個距離。

   Q: 可是我從以上兩個條件無法導出d(x，y) = d(y，x)，

      那這樣d 還算是距離嗎？



2. 若(X，d)為一metric space，則

   試證：空集合是(X, d)之開集。

   pf. 設空集合不是(X, d)之開集，則空集合中必存在元素x，

       使得每一個x的開球都不是空集合的子集，但空集合裡沒有元素(矛盾)

       故空集合是(X, d)中的開集。

    Q: 可是假如我假設空集合是(X, d)之開集，結果會變成空集合不是(X, d)中的開集

       我知道證明不能這樣假設，可是這樣不就變成：我們想得到怎樣的結果，就反過來假設，怎麼會這樣子呢？

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 114.33.206.141
→ keroro321   :1. b. let x=y.
推 yusd24      :2. 直接驗證即可?
→ alasa15     :假設空集合是(X, d)之開集，推不到空集合不是(X,d)的
→ alasa15     :開集吧   他的證明最後有導出矛盾  所以是正確的 (?)
→ honsan      :令x=y不是只能推到d(y,z)<=d(z,y)?
→ THEJOY      :把y,z再互換得到  d(z,y)<=d(y,z), hence, "="
→ honsan      :感謝前輩們的回應！