推 drinks9216 :哦 ~~ 終於可以上線了 , 感謝Z的詳細說明 <(_ _)> 03/05 21:38
→ drinks9216 :拍謝筆誤 , 感謝Z大的詳細說明 <(_ _)> 03/05 21:39
在Metric space M中，F is closed 有很多等價定義
We say F is closed in M
if (1) F^c is open in M
(2) for all x€F^c , there exists D(x;r) s.t. D(x;r)∩ F = φ
(3) cl(F) = F
(4) L(F)⊆F
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現在題目要問G^c是否closed
從(1)，因為(G^c)^c = G 是open的
所以G^c是closed ，完畢
不過以你這樣的證明 我猜你們定義closed是用(4)的定義
所以要證(1)和(4)是等價的
<pf>
(1)=>(4)(已知F^c is open in M , 要證L(F)⊆F)
p€L(F) , so for all e>0 , D(p;e) ∩ F\{p} =/= φ
if p€F , done.
if p€F^c , from (1) we know F^c is open
so there exists D(p;r) s.t. D(p;r)⊆F^c
so when e < r , D(p;e) ∩ F = φ 矛盾!
(4)=>(1)(已知L(F)⊆F，要證F^c is open in M)
Assume F^c is not open in M
then exists p€F^c , s.t. for all e > 0 , D(p;e)不⊆F^c
so D(p;e)∩F =/= φ
Since p€F^c , so F=F\{p}
so D(p;e) ∩ F\{p} =/= φ
this imply p€L(F)
from (4) ， p must lie in F , 矛盾!
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