推 Ertkkpoo :不過其實我用Lagrange算，似乎也得到和原po一樣問題 03/06 13:21
→ doom8199 :那就是樓上計算有誤 03/06 14:09
※ 引述《Zsky (slow walk )》之銘言：
: 99年中區數學第22題
: 劉明昌微積分課本裡有類似題,有解出
: 但不懂為何這題依樣化葫蘆時
: 算到第六步時卡住了...
: [題目]
: 由曲面 (X-Y)^2-Z^2=1 至原點之最短距離為何?
: [Ans]
: 1/根號2 (最近點為(1/2 , -1/2 , 0 ))
: [我的算法]
: 1. 先求X^2+Y^2+Z^2的最小值,求出後再開根號
: 2. X^2+Y^2+Z^2 = X^2+Y^2+(X-Y)^2-1
: 3. 先對X偏微=> 4X-2Y ,再令其為0
: 4. 再對Y偏微=> 4Y-2X ,再令其為0
: 5. 解聯立方程得 X=0 ,Y=0
: 6. 帶回(X-Y)^2-Z^2=1 => -Z^2=1
: 到第六步就掛了...找不到點?
: 請高手指點一下哪裡出錯...謝謝你!!
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第三步就開始有問題了
因為偏微分的做法是把 (x,y) 的所有集合當成 R^2 在算
但實際上 (x-y)^2 = 1 + z^2 ≧ 1 是有 boundary condition 的
那個做法就跟 d(x,y,z) = x^2 + y^2 + (x-y)^2 - 1
= 2(x - y/2)^2 + (3/2)y^2 - 1 相同
會誤以為 d≧-1 , eq. hold iff x=y=0
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因此若想要用偏微分算，需要把 cost function 修正成:
d(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 + λ[(x-y)^2 - z^2 - 1] , λ 屬於 R-{0}
┌ 1 0 0 ┐
= v'v + λ(v'Av - 1) , 其中 A = │ -2 1 0 │
└ 0 0 -1 ┘
v = [ x, y, z]'
然後在分別對 (x,y,z) 偏微分 (或是對 v微分)
當然這個方法就是 Lagrange multiplier
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