推 qbay :GJ 03/06 22:33
※ 引述《doom8199 (～口卡口卡 修～)》之銘言：
: 標題: Re: [微積] 國中教甄題...請指點我哪一個步驟出錯了
: 時間: Tue Mar 6 11:25:09 2012
:
: ※ 引述《Zsky (slow walk )》之銘言：
: : 99年中區數學第22題
: : 劉明昌微積分課本裡有類似題,有解出
: : 但不懂為何這題依樣化葫蘆時
: : 算到第六步時卡住了...
: : [題目]
: : 由曲面 (X-Y)^2-Z^2=1 至原點之最短距離為何?
: : [Ans]
: : 1/根號2 (最近點為(1/2 , -1/2 , 0 ))
: : [我的算法]
: : 1. 先求X^2+Y^2+Z^2的最小值,求出後再開根號
: : 2. X^2+Y^2+Z^2 = X^2+Y^2+(X-Y)^2-1
:
: : 3. 先對X偏微=> 4X-2Y ,再令其為0
: : 4. 再對Y偏微=> 4Y-2X ,再令其為0
: : 5. 解聯立方程得 X=0 ,Y=0
: : 6. 帶回(X-Y)^2-Z^2=1 => -Z^2=1
: : 到第六步就掛了...找不到點?
: : 請高手指點一下哪裡出錯...謝謝你!!
: ---
:
: 第三步就開始有問題了
:
: 因為偏微分的做法是把 (x,y) 的所有集合當成 R^2 在算
:
: 但實際上 (x-y)^2 = 1 + z^2 ≧ 1 是有 boundary condition 的
:
: 那個做法就跟 d(x,y,z) = x^2 + y^2 + (x-y)^2 - 1
:
: = 2(x - y/2)^2 + (3/2)y^2 - 1 相同
:
: 會誤以為 d≧-1 , eq. hold iff x=y=0
:
:
: ----------
:
:
: 因此若想要用偏微分算，需要把 cost function 修正成:
:
: d(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 + λ[(x-y)^2 - z^2 - 1] , λ 屬於 R-{0}
:
: ┌ 1 0 0 ┐
: = v'v + λ(v'Av - 1) , 其中 A = │ -2 1 0 │
: └ 0 0 -1 ┘
: v = [ x, y, z]'
: 然後在分別對 (x,y,z) 偏微分 (或是對 v微分)
:
: 當然這個方法就是 Lagrange multiplier
:
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: ◆ From: 140.113.211.139
: 推 Ertkkpoo :不過其實我用Lagrange算，似乎也得到和原po一樣問題 03/06 13:21
補一下Lagrange multiplier的過程
L = x^2 + y^2 + z^2 + λ[(x-y)^2 - z^2 - 1]
dL/dx = 2x + 2λ(x-y) = 0 ...(1)
dL/dy = 2y - 2λ(x-y) = 0 ...(2)
dL/dz = 2z - 2λz = 0 ...(3)
dL/dλ = (x-y)^2 - z^2 - 1 = 0 ...(4)
由(3)得 2z(1-λ) = 0 => z = 0 or λ = 1
(i) λ = 1 代入(1) (2) 可得
x = 0, y = 0 代入(4)得z^2 = -1(不合)
(ii) z = 0
由(1) + (2) 可得 x = -y 代入(4)
(-2y)^2 = 1, y = 0.5 or -0.5
x = -0.5 or 0.5
代入(1) 可得 λ = -0.5 (不解λ也可以)
最短距離發生在 (0.5,-0.5,0) 與 (-0.5,0.5,0)
距離為√[(0.5)^2+0.5^2+0^2] = 1/√2
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