Re: [微積] 國中教甄題...請指點我哪一個步驟出錯了

[Zsky (slow walk )]

※ 引述《Zsky (slow walk )》之銘言：
: 99年中區數學第22題
: 劉明昌微積分課本裡有類似題,有解出
: 但不懂為何這題依樣化葫蘆時
: 算到第六步時卡住了...
: [題目]
: 由曲面 (X-Y)^2-Z^2=1 至原點之最短距離為何?
: [Ans]
: 1/根號2  (最近點為(1/2 , -1/2 , 0 ))
: [我的算法]
: 1. 先求X^2+Y^2+Z^2的最小值,求出後再開根號
: 2. X^2+Y^2+Z^2 = X^2+Y^2+(X-Y)^2-1
: 3. 先對X偏微=> 4X-2Y ,再令其為0
: 4. 再對Y偏微=> 4Y-2X ,再令其為0
: 5. 解聯立方程得 X=0 ,Y=0
: 6. 帶回(X-Y)^2-Z^2=1  => -Z^2=1
:    到第六步就掛了...找不到點?
: 請高手指點一下哪裡出錯...謝謝你!!

先謝謝doom8199與ejialan願意幫我看過程

甚至幫我解完了...再次感謝!!

原則上此題我已經完全清楚了...

最後,再問一個小問題就好...不好意思!!

劉明昌微積分裡面P8-15的例題為:
===================================
求點(1,2,0)到Z^2=x^2+y^2之最短距離
===================================

這題劉老師課本的解法就是我用的方法

沒有使用到Lagrange就順利解出最近點.

而(X-Y)^2-Z^2=1這題會出錯..

依據doom8199大與ejialan大的看法似乎是

(X-Y)^2 = 1+Z^2

X與Y本身是有限制的

而x^2+y^2=Z^2 似乎沒這個問題

所我我想問的是....
1.是不是只有類似Z=根號(x^2+2y^2)
  這種X,Y沒限制的曲面才能使用劉老師的方法

2.有限制的就只能用Lagrange

謝謝您的解答.再次感謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 27.51.30.15
推 Ertkkpoo    :1.x^2+y^2=Z^2的圖形 http://ppt.cc/WmLZ
推 doom8199    :我覺得原po可以這樣想:  當你把問題從 (x,y,z) 轉到
→ doom8199    :二微問題，那些點好像是被投影到該平線上
→ doom8199    :                                平面
→ doom8199    :所以該平面上很有可能會有些區域是三微點沒有被投影
→ doom8199    :很自然的你所想要討論的區域就是那些被投影點
→ doom8199    :但不論如何，若您所針對的問題函數是 片段連續可微
→ doom8199    :那 global extrema 只會發生在三個地方:
→ doom8199    :<1> 極值點  <2> 不連續點 <3> 邊界
→ doom8199    :因此不論您使用何種方法，應該要養成習慣討論
→ doom8199    :這三種 case，再統整起來找出最佳解
→ Zsky        :我了解了....真的謝謝你的講解...感謝!!