推 Zsky :酷，用幾何來說明，而且非常清楚，厲害 03/07 11:09
※ 引述《Zsky (slow walk )》之銘言：
: ※ 引述《Zsky (slow walk )》之銘言：
: : 99年中區數學第22題
: : 劉明昌微積分課本裡有類似題,有解出
: : 但不懂為何這題依樣化葫蘆時
: : 算到第六步時卡住了...
: : [題目]
: : 由曲面 (X-Y)^2-Z^2=1 至原點之最短距離為何?
: : [Ans]
: : 1/根號2 (最近點為(1/2 , -1/2 , 0 ))
: : [我的算法]
: : 1. 先求X^2+Y^2+Z^2的最小值,求出後再開根號
: : 2. X^2+Y^2+Z^2 = X^2+Y^2+(X-Y)^2-1
: : 3. 先對X偏微=> 4X-2Y ,再令其為0
: : 4. 再對Y偏微=> 4Y-2X ,再令其為0
: : 5. 解聯立方程得 X=0 ,Y=0
: : 6. 帶回(X-Y)^2-Z^2=1 => -Z^2=1
: : 到第六步就掛了...找不到點?
: : 請高手指點一下哪裡出錯...謝謝你!!
let f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 -------(1)
g(x,y,z) = (x-y)^2 - z^2 - 1 = 0 --------(2)
由 g(x,y,z) = 0 的條件限制之下，可得 z^2 = (x-y)^2 - 1
帶入 (1) 式，可得
F(x,y) = x^2 + y^2 + (x-y)^2 -1
然後想由 F_x = 0 與 F_y = 0 解 F(x,y) 的極值
( F_x 與 F_y 分別表示 F(x,y) 對 x 與對 y 的偏微 )
這裡要小心的是 F(x,y) 的定義域已經不是整個 R^2
因為在 (2) 式的限制之下
(x-y)^2 = z^2 + 1 >= 1
F(x,y) 的定義域有被挖掉一些，(0,0)就不在裡面了
因此 F(x,y) 的極值當然不會發生在 (0,0) 點
可能會發生在邊界 (x-y)^2 = 1 上面
由幾何觀點來看，(1)式的極值點在(2)限制之下
會發生在 x^2 + y^2 + z^2 = c 的區面 與 (2)式的區面相切之點
如果沒有相切，c 就不會是極值
df = f_x dx + f_y dy + f_z dz = 2x dx + 2y dy +2z dz
dg = g_x dx + g_y dy + g_z dz = 2(x-y) dx - 2(x-y) dy - 2z dz
x^2 + y^2 + z^2 = c 的切平面法向量為 (2x,2y,2z) = (x,y,z)
(x-y)^2 - z^2 - 1 = 0 的切平面法向量為 ( 2(x-y),-2(x-y),-2z ) = (x-y,y-x,-z)
兩個法向量平行 (x,y,z) = λ(x-y,y-x,-z)
解得 z = 0 , x = -y
以上為 Lagrange Multiplier Method 的幾何看法
: 先謝謝doom8199與ejialan願意幫我看過程
: 甚至幫我解完了...再次感謝!!
: 原則上此題我已經完全清楚了...
: 最後,再問一個小問題就好...不好意思!!
: 劉明昌微積分裡面P8-15的例題為:
: ===================================
: 求點(1,2,0)到Z^2=x^2+y^2之最短距離
: ===================================
: 這題劉老師課本的解法就是我用的方法
: 沒有使用到Lagrange就順利解出最近點.
: 而(X-Y)^2-Z^2=1這題會出錯..
: 依據doom8199大與ejialan大的看法似乎是
: (X-Y)^2 = 1+Z^2
: X與Y本身是有限制的
: 而x^2+y^2=Z^2 似乎沒這個問題
: 所我我想問的是....
: 1.是不是只有類似Z=根號(x^2+2y^2)
: 這種X,Y沒限制的曲面才能使用劉老師的方法
: 2.有限制的就只能用Lagrange
: 謝謝您的解答.再次感謝
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