※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
: http://www.badongo.com/pic/14820413
: 怎麼證明這件事情
: 首先小弟知道它們的"絕對值"都表是這三個向量所張開的平行六面體體積
: 但是怎麼知道不會會不會差個負號呢??
: 因為外積完的向量可能和第三個向量夾鈍角
: 1.能否純粹用平行六面體體積來思考這個等式
: 2.能否不要把外積定義寫出來在內積 暴力法算三次 證明相等
: 3.能否不要用三階行列式性質來想 (兩列互換其值異號)
: 謝謝 萬分感激
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我想了一下要在你限制的條件下"證明"你問的問題
以我的微薄能力真的還做不太出來。
只能提供你一些想法，就當做是拋磚引玉希望有高手出來進一步解答：
隨便畫不共面的三向量（這邊是p, q, r）
你先抓其中兩隻向量內積，
會得到一個量值為兩向量張開面積而方向垂直於兩向量張開平面的向量，
這時候可以看出，第三個向量與這個外積出來的向量內積的效果
會等同於把（有方向的）高投影到這個這個外積向量上
而底乘高恰好是平行六面體的體積。
這是我想出來最能貼近以平行六面體想法的看法。
而且你會發現只要你取的orientation都一樣也就是cyclic permutation
那麼你這三個向量取出來三重積後不是同正就是同負。
當然我這邊並沒有向你"證明"任何事情
（充其量是proof by hand waving XDDDD）
因為就算你從早上畫例子畫到晚上畫的終究是有限個例子，
這就是一種想法而已。
更何況我幾乎沒講什麼是orientation，基本上就是賦予基底一個方向性，
2-D的情況很單純，定義逆時針轉為正的orientation
高維的就有點尷尬了，光三維就不知道要怎麼逆時針。
事實上高維度orientation的定義方法就是由最一般基底i, j, k
與所選取基底的坐標變換矩陣的行列式值，基本上就是你問的問題
所以我差不多什麼有意思的都沒講Q__Q
然後因為你封印了行列式的運算性質，能定量描述的事情就少了很多。
這邊提供一個偷雞的想法好了
考慮A。(BXC)
| B_2 B_3 | | B_3 B_1 | | B_1 B_2 |
BXC=(| |)i+(| |)j+(| |)k
| C_2 C_3 | | C_3 C_1 | | C_1 C_2 |
|B_2 B_3| |B_3 B_1| |B_1 B_2|
A。(BXC)=A_1| |+A_2| |+A_3| |
|C_2 C_3| |C_3 C_1| |C_1 C_2|
這是一個三階行列式的降階，選好行列你可以把A。(BXC)，B。(CXA)和C。(AXB)
還原到同一個行列式。但這樣其實也沒有回答到太多你的問題orz
更炫目的是Levi-Civita symbol,但更勞師動眾對概念也幫助不大就是了。
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是說不知道可不可以問說為什麼要限制那麼多呢?
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