Re: [中學] 同餘

[LimSinE (r=e^theta)]

※ 引述《Sfly (topos)》之銘言：
: Let z > 2 be an integer, prove or disprove that
:       z
:      z            z
:     z            z
:    z      =     z      (mod 2012)
:   z            z
:  z            z
: z            z

Disprove:
以z(n)表示n層z，z(1)=z,z(2)=z^z...

現設 z(7)=z(6) (mod 2012)，則z(7)=z(6) (mod 503) (503質數)
若(i) z mod 503為primitive root，
則z(6)=z(5) (mod 502)，z(6)=z(5) (mod 251) (251質數)
若又(ii) z mod 251為primitive root，
則z(5)=z(4) (mod 250)，z(5)=z(4) (mod 125) (125=5^3)
若又有(iii) z mod 125 為 primitive root，
則z(4)=z(3) (mod 100)，z(4)=z(3) (mod 25)
此時z mod 25自然是primitive root，
故z(3)=z(2) (mod 20)，z(3)=z(2) (mod 5)
此時z mod 5 也是primitive root，
故z^z =z (mod 4)
若再有 (iv) z = 2 (mod 4)，z>2，則z^z = 0=/=2=z (mod 4)


由中國剩餘定理，有無限多自然數同時滿足(i)(ii)(iii)(iv)
故對這些自然數，原式都不成立。

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                                代數幾何觀點！
                          Algebro-Geometrical Aspect!

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 219.84.57.56
推 keroro321   :推推推
推 keroro321   :因為對 primitive root 不熟悉,我對primitive root
→ keroro321   :可以一直傳下有些疑問XD,但是往上傳比較沒問題
→ keroro321   :2 : primitive root mod(5),2^4≠1 mod(25) 所以
→ keroro321   :2 : primitive root mod(5^n)
primitive root 的另一個看法就是1,a,a^2,... 可以跑遍和p^n互質的餘數
那當然可以跑遍 p^n-1 互質的所有餘數
※ 編輯: LimSinE         來自: 219.84.57.56         (03/10 00:02)
推 keroro321   :3q !
推 Sfly        :you got it. BTW, z(8)=z(7) mod 2012 應該會成立.