[微積] 多變數函數的gradient的一個證明

[testishard (testishard)]

可否用gradient的定義證明以下這個小定理：



如果 f 和 g 是有相同定義域 D 的 n多變數函數，且在 x 都可微。



If g(x) ≠ 0, then f/g is diff. at x


                                       g(x)▽f(x) — f(x)▽g(x)
                     and ▽(f/g)(x) =  ————————————
                                               [g(x)]^2


========================以下為我的想法=========================



                         f(x+h)      f(x)
(f/g)(x+h) － (f/g)(x) = ———  －  ——
                         g(x+h)      g(x)

                         g(x)f(x+h) － f(x)g(x+h)
                       = ————————————
                                g(x)g(x+h)

                         g(x)[f(x+h) － f(x)] － f(x)[g(x+h) － g(x)]
                       = ——————————————————————
                                         g(x)g(x+h)


∵ f and g are diff. at x   ∴ ∣ f(x+h) － f(x) = ▽f(x)‧h + o(h)
                               ∣
                               ∣ g(x+h) － g(x) = ▽g(x)‧h + o(h)



                         g(x)[▽f(x)‧h + o(h)] － f(x)[▽g(x)‧h + o(h)]
(f/g)(x+h) － (f/g)(x) = ————————————————————————
                                            g(x)g(x+h)

                         [g(x)▽f(x) － f(x)▽g(x)]‧h + g(x)o(h)－f(x)o(h)
                       = —————————————————————————
                                            g(x)g(x+h)

                         [g(x)▽f(x) － f(x)▽g(x)]         g(x)o(h)－f(x)o(h)
                       = —————————————‧h  +  —————————
                                g(x)g(x+h)                     g(x)g(x+h)
                                    ﹌﹌﹌
                                      ↑
                                 這個要怎麼辦 ?


後面那一陀東東很容易證明是 o(h)，但是前面的那一陀東西要怎麼處理

很明顯不符合可微的定義。若將前項分母的g(x+h)改寫成〔g(x) + [g(x+h)－g(x)]〕

代入後只會將整個式子搞得更噁心，且似乎也無法湊出所要證的東西…

這個問題已經困擾我一個晚上，害我失眠了…


有沒有哪個好心的神人可以解惑一下，謝謝！


感激不盡

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◆ From: 106.1.225.110
推 herstein    :直接微分不就好了?
→ testishard  :為什麼可以直接微啊…我又不知道f & g的一皆偏微都存
→ testishard  :且其所有偏微函數都連續在x點，就不能用
→ testishard  :▽f(x)=(df/dx_1,...,df/dx_n)這個公式去做
→ testishard  :反正現在只能用定義去證…
推 herstein    :如果你g不為零偏為分在該點不為零你的偏為分還是有
→ herstein    :quotient rule
→ testishard  :那為什麼所有的偏微函數分會在該點連續？
→ testishard  :如果不知道的話就不能把gradient化成偏微分去做
→ testishard  :而且偏微分為什麼會存在
→ harveyhs    :可微的條件就可以讓你gradient長那樣了
推 herstein    :可微的條件=>偏微分存在
→ herstein    :而你這一題的微分已經告訴你長怎樣了...
推 herstein    :基本上你那一個式子兩邊減掉
→ herstein    :g\nabla f-f\labla g/g^2
→ herstein    :你就等於是在估計1/g(x+h)-1/g(x)的長度y
→ herstein    :因為你的其他部分都是有限值
→ herstein    :當h趨於零時|1/g(x+h)-1/g(x)|<epsilon
→ herstein    :所以你那一大塊是epsilon*C*|h|
→ testishard  :前項若要是gradient的話，就不能是跟h有關的函數
→ testishard  :但前項分母處的 g(x+h) 會讓前項變得跟h有關
→ testishard  :g\nabla f-f\labla g/g^2 這是什麼？看不懂…Q^Q