作者znkt49235781 (芥末果凍)
看板Math
標題Re: [中學] 大學推甄題
時間Sat Mar 10 15:36:40 2012
※ 引述《stu2005131 (星空)》之銘言：
: 定義f(n)為n的所有正因數之和
: 例如:f(3)=1+3=4, f(4)=1+2+4=7
: 證明:如果m,n互質 則f(mn)=f(m)f(n)
: 請大大幫忙囉
: 雖然寫出如果m,n本身為質數可以成立
: 不過如果本身帶有因數該如何證明呢@@?
其實你已經證的差不多了...
a是任意數 p是不整除a的質數 x是正整數
應該可以很容易證出來f(a*p^x)=f(a)f(p^x)
(
f(a*p^x)=f(a)+pf(a)+p^2*f(a)+.....P^x*f(a)
=f(a)(1+p+.....)=f(a)f(p^x)
)
回題目
若n=n1*n2*...*ns (n? 是不同質因數分解.我偷懶不寫次方...
所有的 n?都不整除m
所以 f(m)f(n)=f(m)f(n1*n2*...)=f(m)f(n1)f(n2)....=f(m*n1)f(n2)...
=f(m*n1*n2*n3.....)=f(m*n)
比較長...
不過應該比較好理解吧??
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◆ From: 140.112.243.182
推 stu2005131 :恩 感謝!大致上懂了 03/10 15:41
推 OldChuang :f(m)f(n1*n2*...)=f(m)f(n1)f(n2)..這不就跟沒證一樣 03/10 15:42
→ OldChuang :應該說你這樣等於是證明因式分解後的樣子 03/10 15:43
→ OldChuang :她麻煩就是麻煩在這裡 03/10 15:43
→ znkt49235781:最重要的只在於第一段 說明了對於函數f 03/10 16:17
→ znkt49235781:你可以把裡面數字的一整坨質數拿出來或放回去 03/10 16:18
→ znkt49235781:所以我們可以把n裡面的因數"一個一個"拿出來 03/10 16:19
→ znkt49235781:再把他"一個一個"放進m裡面 03/10 16:19