推 OldChuang :對耶 我CASE1會變成8-小於C(8,2)/9 我也看不懂我昨 03/11 16:06
→ OldChuang :天CASE1在打什麼xd 03/11 16:06
※ 引述《OldChuang (老莊)》之銘言：
: ※ 引述《pentiumevo (數學系最不靈光的人)》之銘言：
: : 題目：
: : 9 個面積都是一平方單位的多邊形放置在面積為5 平方單位的圓中。
: : 証明：其中至少有兩個多邊形的重疊部分的面積不小於（大於等於）1/9 平方單位。
: : 想法：用反證法
: : 假設結論不成立，也就是任二多邊形重疊區域面積小於1/9，但接下來我不知道如何做了
: : 麻煩大家幫個忙，謝謝。
: 我從正面
: 假設沒有兩個多邊形的重疊部分面積>=1/9
: 也就是全部的重疊面積都<1/9
: 總共有C(9,2)=36個重疊區域 也就是最多重疊區域面積<4
: 9- 小餘4的數 >5 矛盾
: 假設只有一個重疊部分>=1/9 (這邊case多 你自己慢慢打...)
: case1:有一組重疊=1,=\=0 (重疊多 總面積小)
: 1+小於C(7,2)/9 >5 矛盾
: case2: 1>重疊>1/9
: case3: 重疊=1/9
: 來看看兩個重疊>=1/9為什麼會對吧
: 3個完全重疊
: 7-小於C(7,2)/9的數 = 7 -小於21/9的數 OK囉~
: 推 LPH66 :你看錯題目了吧...「兩個」是多邊形不是重疊區... 03/11 01:09
: → OldChuang :沒錯吧= =兩個_多邊形重疊區域 03/11 09:49
我只能說這中文就這麼剛好寫得有歧義 orz
這題的要證的東西的確是「存在兩個多邊形其重疊部份≧1/9」
你的「只有一個」那部份的證明錯了
因為當有兩個多邊形完全重疊
其它七個各和他(們)重疊 0.111
這七個也互相兩兩重疊 0.111
上兩行一共 7 + C(7,2) = 28 個區域不互相重疊時
這七個多邊形各自剩下 1 - 7 * 0.111 = 0.223 是不和人重疊的
因此總覆蓋面積是 1 + C(7,2) * 0.111 + 7 * 0.223 = 4.892 < 5 !
問題在於你少算了這七個多邊形可以和這兩個重疊的多邊形各交 < 1/9
也就是你少算了至多 2*7/9
這樣一來總重疊面積會 < 1 + 14/9 + 21/9 = 44/9
所以總覆蓋面積 > 9 - 44/9 = 37/9 但這數字 < 5 表示這是可能的...
不過全部 < 1/9 那部份倒是沒有問題
但那正是原 PO 的思路「反設大家重疊的部份都 < 1/9」 所以那還是反證法...
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有人喜歡邊玩遊戲邊上逼；
也有人喜歡邊聽歌邊打字。
但是，我有個請求，
選字的時候請專心好嗎？
-- 改編自「古 火田 任三郎」之開場白
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