Re: [中學] 一題數學競賽題

[JohnMash (Paul)]

※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
※ 引述《sales12345 (111)》之銘言：
: 請問各位大大此題如何求解?   謝謝
: A(0,0),B(0,4)均在圓 (x-2)^2+(y-2)^2=8上.  M為圓上動點, 過BM中點作出
: AM的垂線,垂足為P,  求P的軌跡方程式為    x^2+y^2-2x-4y=0
: 此題是師大附中競賽題目


     Let P(u,v), M(x,y), A(0,0), B(0,4)

     K為BM中點

     以下為向量表示

       MP=(MK.MA)/(MA.MA) MA

      2MP=(MB.MA)/(MA.MA) MA............(1)

      令 AM=kAP

         PM=(k-1)AP=(k-1)/k AM

         2PM=2(k-1)/k AM................(2)

     由(1),(2)可知

        (MB.MA)/(MA.MA)=2(k-1)/k.........(3)

         MB=MA+AB=-kAP+AB

         MA=-kAP

      MB.MA=k^2AP.AP-kAB.AP=k^2(u^2+v^2)-k(0,4).(u,v).......(4)

      MA.MA=k^2AP.AP=k^2(u^2+v^2).........(5)

      由(3),(4),(5)可知

      [k(u^2+v^2)-4v]/[k(u^2+v^2)]=2(k-1)/k

      [k(u^2+v^2)-4v]=2(k-1)(u^2+v^2)

      (k-2)(u^2+v^2)+4v=0................(6)

       但 ku=x,kv=y

     (ku-2)^2+(kv-2)^2=8

      k(u^2+v^2)-4(u+v)=0..................(7)

     (7)-(6)得

      2(u^2+v^2)-4(u+v)-4v=0

       u^2+v^2-2u-4v=0

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◆ From: 112.104.91.68
※ 編輯: JohnMash        來自: 112.104.91.68        (04/20 09:02)
推 sales12345  :謝謝J大,這題想好久了
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◆ From: 27.147.57.77
推 balista     :嗯ABP為直角三角形, 所以P的軌跡為以 AB 為直徑的圓
→ JohnMash    :推 balista
→ theoculus   :ABP為直角三角形, 直角是在角A耶
→ theoculus   :不對阿= =  ABP根本就不是直角三角形
→ JohnMash    :推 theoculus
推 sales12345  :謝謝J大
→ JohnMash    :你為何又問一次?
推 sales12345  :抱歉J大,我看懂你的解法,只是考試時不知有無快速解
→ sales12345  :因為最近要考試,需要一些速解@@,冒犯之處請見諒
→ Sfly        :易知 tan角APB = 2*tan角AMB = function of AB
→ Sfly        :所以P軌跡是圓
→ JohnMash    :推 Sfly