→ znmkhxrw :謝謝~~原來直接證比較好證@@ 03/20 03:18
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: {u1,...,un}是V中的一組basis
: if and only if Gram(u1,...,un) =/= 0
: Where Gram(u1,...,un) = det ( <u1,u1> ─ <u1,un> )
: │ │
: <u1,un> ─ <un,un>
: 把這個矩陣叫作A
: 所以如果{u1,...,un}是V中的一組basis
: 則依據 #1FOFxfdK 的方法 可以說明Gram(u1,...,un) 不只=/=0 還>0
: 可是我猜這個矩陣根本是正定的
: 想用"全部的pricipal minor都>0 iff A 是正定"
: 可是目前我只能確定 detA > 0 , det(<u1,u1>) > 0
: 以及第二個pricipal minor也是 > 0
: 也就是det <u1,u1> <u1,u2> > 0 (Cauchy-inequality)
: <u1,u2> <u2,u2>
: 可是第三個到第n-1個principal minor就不知道如何證>0了
: 試了一段時間+上網都只有題到det A > 0 ...
: 謝謝
要證明正定可以用正定的定義。
A正定矩陣若且唯若對任何非零向量x, <Ax,x> >0.
A=B^TB=> <Ax,x>=<Bx,Bx>=|Bx|^2
由於B的行向量構成R^n的基底，det B不為零，也因此當x不為零時，Bx不為零。
就可推得|Bx|>0。
如果你要用principal minor證明A的正定性,應該可以用Cauchy-Binet formula證明。
不然就是要回歸"全部的pricipal minor都>0 iff A 是正定"的證明。
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