[線代] othogonal matrix

[znmkhxrw (QQ)]

A€M_nxn(R)

if A is invertible

then A(R^n) = R^n (onto)


如果現在A€M_nxn(R) with A^t A = I (A is othogonal)

當然 A is invertible from R^n to R^n

但是否有 A：D(0;r) → D(0;r) is invertible ??

也就是說任給一個R^n中以0為圓心，r為半徑的n維球

是否：A會把n維球打到同半徑的整個n維球(onto) , 且是1-1


目前只能確定image會在D(0;r)內，因為│Av│=│v│(othogonal的性質)

而且是1-1(因為A：R^n→R^n是1-1，當然縮小domain也會是1-1)

但問題在D(0;r)不是向量空間了，所以不能Imply onto


謝謝~~

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 111.243.156.53
推 hjmeric     :是onto 吧 因為 D(0;r)包含於R^n,所以給一個點在
→ hjmeric     :D(0;r)上,y0,必可找到一點x0屬於R^n s.t.A^(-1)y0=x0
→ hjmeric     :|A^(-1)y0|=|y0| 所以x0也在 D(0;r)上面。
→ hjmeric     :       x0
→ hjmeric     :     改錯   x0←這個才對
→ hjmeric     :最後兩行不要理它XD 發現這樣會混淆原本的就可以了
→ znmkhxrw    :恩恩~~關鍵在A is ortho. iff A^-1 is ortho. 謝嚕!
→ znmkhxrw    :阿~其實也不用用到A^-1 is ortho.
→ znmkhxrw    :Ax0 = y0 => │Ax0│=│x0│=│y0│=r
推 hjmeric     :恩恩應該是這樣XD
推 herstein    :當然是onto....
→ sneak       :     改錯   x0 https://noxiv.com
→ sneak       : |A^(-1)y0|= https://daxiv.com