Re: [代數] irreducible

[suhorng ( )]

※ 引述《hjmeric (Jimmy)》之銘言：
: Prove that x^3-9 is irreducible over the integers mod 31.

不確定這樣對不對...

首先, x^3-9 是三次式, 若在可分解則一定有一次因式, 也就是 mod 31 有根.
再來, a^30≡(a^3)^10≡1 (mod 31) 由費瑪小定理(31-\-a).

假設 x^3-9 在 mod 31 可分解, 則可以設α為它的根. 如此 α^3≡9 (mod 31)

=> α^30≡9^10≡(-12)^5≡(-12)*20^2≡-26(mod 31), 矛盾

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◆ From: 61.217.34.57
推 ss1132      :正負1?
推 keroro321   :對
→ suhorng     :正負1是指說...?
推 hjmeric     :懂了 謝謝!
推 ss1132      :a^3 也可能餘-1???
→ suhorng     :唔,可是是30次方不是3次方....
推 ss1132      :30次方餘1推到3次方餘正負1?
推 LPH66       :不一定  因為這裡模 31
→ LPH66       :最簡單的例子 a = 2 時 a^3 = 8 但 a^30≡1(mod 31)
→ LPH66       :我猜一樓是搞錯證明第二行的意思了...
推 ss1132      :恩懂了耶
→ sneak       : 正負1是指說...? https://noxiv.com
→ sneak       : 恩懂了耶 https://daxiv.com