Re: [微積] 散度運算的證明

[qna (freely falling)]

※ 引述《chunhsiang (= =)》之銘言：
: A is a 3D vector function
: i,j,k分別為(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)的單向量
: Ax,Ay,Az 都是三維的純量函數
: A = Axi+Ayj+Azk
: 這裡的d是partial
: 試証 div A =  dAx/dx + dAy/dy + dAz/dz
: 我的問題是在divergence定義中定義的Δv
: Δv->0
: Δv = ΔxΔyΔz (這應該是對的吧)
: 那個只要Δx->0 or Δy->0 or Δz->0 就可以滿足 Δv->0 對嗎?
不是or 而是and
: ∮A˙dS = 正方體六個面的面積分和
: front face
: ∫A˙(dydzi)
: = Ax(x+Δx,y,z)ΔyΔz  <= 這一步是如何知道?
無窮小正方體積分就拿掉 這裡只有示範一個方向
另外兩個方向同理
: back face
: = -Ax(x,y,z)ΔyΔz    <= Δx在面積分會有影響?
: lim [Ax(x+Δx,y,z)ΔyΔz-Ax(x,y,z)ΔyΔz]/Δv
: Δv->0

=lim [Ax(x+Δx,y,z)-Ax(x,y,z)]ΔyΔz/Δv
=lim [dAx(x,y,z)/dx]ΔxΔyΔz/Δv
=dAx(x,y,z)/dx

無窮小正方體六個面加總就是
∮A˙dS/Δv = ∫A˙(dydzi) +∫A˙(dxdzj) + ∫A˙(dydxk) /Δv
= dAx/dx + dAy/dy + dAz/dz = divA

: 為何我會倒出樣荒妙結果呀? 我看課本適用泰勒展開來繼續證明
: 有請高手為我這程度不好的解釋一下 感恩

--
 格調--就是格調

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 112.104.115.234
→ chunhsiang  :但是假如Δx=1,Δy->0,Δz->0 => Δv->0 一樣也是對
→ chunhsiang  :∫A˙(dydzi) = ∫Axdydz 為何不是 Ax(x,y,z)ΔyΔz
...面積分...只有函數值...........> <
→ harveyhs    :給樓上，這樣你的積分的偏微分值就是不好的估計了

你往後面的章節看
它的一個精神其實要表達divA=divA(x,y,z)
取無窮小是要他收斂要一個點上  所以小正方體或球體不重要
你取成Δx=1,Δy->0,Δz->0 => Δv->0
這樣就會變成divA在一個範圍的平均 無法表達出空間某點(x,y,z)的divA
也是因為面積無窮小 才能把積分符號拿掉
那另外兩個方向∫Aydxdz 你能同樣用Δx=1,Δy->0,Δz->0 這樣極限取法嗎
※ 編輯: qna             來自: 112.104.115.234      (03/22 00:13)