推 LPH66 :其實也可以直接用配方進到 ∫√((2x^2)+1)dx 03/23 18:21
其實直接配方才是正確作法
只是我看到2√2t直覺去尋找(t-√2)^2的展開來比較，接著化成(t^2+(t-√2)^2)^2
出現距離公式的形式，思考是否能轉化/簡化題目，不行才依此換成√((2x^2)+1)
※ 編輯: StellaNe 來自: 140.112.239.28 (03/23 22:41)
※ 引述《mathsun (數戰數決)》之銘言：
: ∫(0到√2) [2(t^2) - (2√2)t + 2]^(1/2) dt =
: 請問怎麼算? 謝謝!
只做不定積分∫(2t^2-2√2t+2)^(1/2) dt
=∫(t^2+(t-√2)^2)^(1/2) dt
令t=x+√2/2，dt=dx
原式=∫((x+√2/2)^2+(x-√2/2)^2)^(1/2) dx
=∫(2x^2+1)^(1/2) dx = √2 *∫(x^2+1/2)^(1/2) dx
根據不定積分表
∫(x^2+a^2)^(1/2) dx= a^2*arcsinh(x/a)/2 + x*(x^2+a^2)^(1/2)/2 + C
(關鍵是令x= a*sinh(u))
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