[代數&分析] 多項式

[znmkhxrw (QQ)]

在分析中的實數或是複數中引用metric space (用複數為例)

a_1,...,a_n皆是複數

定義 f(z) = a_n*z^n + ... + a_0 , z€C

如果 g(z) = b_n*z^n + ... +b_0 = f(z) , z€C

則 我們可以"證得" a_n=b_n for all n

(用微分或是冪級數的唯一性皆可證)


可是在代數中，if R is a ring

則考慮 R[x] (多項式環)

f(x)€R[x]是其中的一個元素，x並無意義

(因為這邊的f不是函數。不過之後定義"root"後卻可以代值了)

所以f=g的 "定義" 是系數皆相等


這是怎麼回事呢??

最後~我想解決的問題是

F is a field , f_0,...f_n€F

Define P：F→F by P(x) = f_n*x^n + ... + f_0

if q_0,...,q_n€F , G(x) = q_n*x^n + ... +q_0 = P(x)

then f_n=q_n for all n ????

我想證這件事

會很奇怪嗎?? 因為這是定義?? Ring的話對嗎??


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◆ From: 140.114.34.252
推 jacky7987   :函數的相同是用f和g送每個x到相同的函數值
推 jacky7987   :在F_p 中x^p-x和0是不同的多項式，但是相同的函數
→ jacky7987   :把每個x in F_p都送到0
推 jacky7987   :每個多項式f可以定義一個evaluation函數f*(也就是代
推 jacky7987   :如果F是無限體，那f*=g*可以得到f=g
→ znmkhxrw    :可是我是想要知道說兩個函數相同能否推得係數相同??
→ znmkhxrw    :如果F是無限體的話
→ wickeday    :可以