[分析] 積分中的微分

[znmkhxrw (QQ)]

Apostol的Mathematical analysis - 2e , p.167 , Theorem 7.40

請板友們看那頁證明後就知道我在講啥了(如果沒有書的話我這個定理我打在備註)

我把α(x)寫成x了 比較簡單
---------------------------------------------------------

想請問一下為何他這樣證是對的

                     b
因為他是利用 G(y) = ∫f_y(x,y)dx €C[c,d] 來證的 (因為f_y(x,y)€C[a,b]Ｘ[c,d])
                     a


可是在倒數第三行的式子

     F(y)-F(y_0)    b
     ─────  = ∫f_y(x,y')dx , where y' is between y and y_0
       y - y_0      a

如果今天y'與x無關，那這個證明就很OK

可是問題就在於y'與x有關

        b
意思是 ∫f_y(x,y'(y,x))dx --- ●
        a

這個東西根本跟G(y)毫無關係了，因為連是否存在一個y*值使得G(y*) = ●都不知道了

                                    b
甚至即便對於任予g(x)€[c,d]的函數，∫f_y(x,g(x))dx 也不一定存在
                                    a

所以，是否能證出此y'與x無關

或是這證明是錯的??

-----------------------------------------------------------------------------

P.S.

Theorem：

Let Q = {(x,y)：a≦x≦b , c≦y≦d}. Assume that the integral

        b
F(y) = ∫ f(x,y)dx exists
        a

If the partial derivative f_y is continuous on Q

then derivative F'(y) exists in (c,d) and is given by

         b
F'(y) = ∫ f_y(x,y)dx
         a

<pf> If y_0€(c,d) and y =/= y_0, we have


     F(y)-F(y_0)    b f(x,y)-f(x,y_0)    b
     ─────  = ∫──────── = ∫ f_y(x,y')dx
       y - y_0      a      y-y_0         a

    where y' is between y and y_0. Since f_y is continuous on Q,

    we obtain the conclusion by arguing as in the proof of Theorem 7.38

    (Theorem 7.38就是在講如果f_y is continuous on Q

               b
     則G(y) = ∫ f_y(x,y)dx is continous on [c,d] )
               a

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 111.243.147.78
→ keroro321   :你的疑問會出現,就是出在你把"最後"的積分出來單獨看
→ keroro321   :它的關聯性就是中間的積分,中間定義好,右邊就行了
→ keroro321   :即使x->y'可能很亂也沒關係 (最下面第二積分)
→ keroro321   :(f(x,y+t)-f(x,y))/t=f_y(x,y+t'),不論x→t'怎麼取
→ keroro321   :左邊能積分,右邊就能積分.
→ keroro321   :(對x積),會有問題是因為你把左邊對應關係忽略了.
→ znmkhxrw    :是阿 我知道右邊存在  可是左邊要取lim且存在的話
→ znmkhxrw    :必須確保右邊取lim且存在  但是右邊就會發生問題
→ keroro321   :嗯?, t'都趨近於0了 有什麼問題
→ znmkhxrw    :為什麼右邊的式子中 y→y_0會存在??
→ keroro321   :當你t->0=>t'->0,右式又均勻收斂到f_y(x,y)