※ 引述《rebe212296 (綠豆冰)》之銘言：
: 題目:
: ∞ -t x-1
: ∫ e t dt 對所有x屬於實數 問此瑕積分發散或收斂?
: 0
: 我分三個情況 在x<0和x=0的情況下已經解出瑕積分發散
: 但是x>0 找不到方法判斷此瑕積分收斂或發散
: 我試了2個test,
: 雖然f(t)=e^-t is decreasing on [0,∞)
: 但lim 1
: t→∞ — 在x>1 發散 在0<x<=1 收斂
: x-1
: t
: 所以Abel 和Dirichlet test 都失敗
: 請問哪個test才可以找出此瑕積分在x>0收斂或發散?
當 x > 0, lim t^{x-1}e^{-t/2} = 0
t→∞
因此存在 N > 0, 當 t≧N 的時候 t^{x-1}e^{-t/2} < 1
∞ ∞
=> ∫t^{x-1}e^{-t}dt = ∫t^{x-1}e^{-t/2} e^{-t/2}dt
N N
∞
≦ ∫ e^{-t/2}dt < ∞
∞ N
所以 ∫t^{x-1}e^{-t}dt 無論如何都收斂. 接下來
N
N
∫t^{x-1}e^{-t}dt 當 x≧1 的時候收斂, 可是當 0 < x < 1 的時候也要檢查.
0
N N
因為 e^{-t}≦1, ∫t^{x-1}e^{-t}dt≦∫t^{x-1}dt < ∞
0 0
所以當 x > 0 的時候都收斂.
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