Re: [分析] 積分中的微分

[znmkhxrw (QQ)]

想請問一下你定義的這個H(y)

                   ∞
能否推廣到 H(y) = ∫ f_y(x,g(x,y))dx呢??
                   a

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請看下面這串  感謝：

我一開始PO的問題其實可以用f_y的均勻連續性解決(Marsden的證法)


   F(y)-F(y_0)              b
   ───── - f_y(x,y) = ∫[f_y(x,y') - f_y(x,y)]dx
    y - y_0                 a

如此一來用f_y的均勻連續性就解決了 可以避掉Apostol的方法

可是問題在於Marsden這個方法跟(b-a)有關

         ∞
不能用在∫ 的case
         a

而Marsden沒有給這種Case的證明
                                      b                   ∞
只說如果是這種case的話，需要G_b(y) = ∫f_y(x,y)dx → G(y)∫f_y(x,y)dx uniformly
                                      a                   a

(這個條件可以用控制函數來達成，Laplace transform即是)

如此一來，因為G_b(y) is continuous on [c,d] , for all b

加上uniformly後，可以推得G(y) is continuous on [c,d]

可是這個結果，感覺他接著就是要用Apsotol的方法了

因為G(y)是連續的，如果Apostol的方法可用的話，也是秒殺

總之Apostol的方法如果是對的話，只要確保G(y)連續，根本不用考慮是finite interval

還是improper integral

可是我就是覺得Apostol那個很奇怪...

而你提供H(y)那個方法  貌似也跟b-a有關

是否有一個用在瑕積分的版本


非常謝謝...這真的讓我想快三天了QQ
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昨天去問老師  老師說很簡單：

 ∞              ∞   n+1
∫ f_y(x,y) dx = Σ  ∫  f_y(x,y) dx (瑕積分收斂則任何方式皆收斂)
 0               n=0  n

                 ∞   1
               = Σ  ∫  f_y(x+n,y) dx  (變數變換)
                 n=0  0

                  1 ∞
               = ∫ Σ  f_y(x+n,y) dx (因為均勻收斂) --- 這我還沒仔細寫過
                  0 n=0

老師的意思是說  這樣就把[0,+∞)變到 [0,1]了

我回家仔細寫了之後 還是有點卡  所以暫時放一邊

如果確定沒有其他方法(Apostol那個確定是不對的話)

我就再試試看老師這個

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◆ From: 111.251.230.21
推 wickeday    :你們老師提的是標準做法喔，你仔細寫，一定是對的
→ wickeday    :其實它和Marsden那方法是一樣的，換個寫法而已
→ znmkhxrw    :你說換到[0,1]後然後用均勻連續??
→ wickeday    :嗯，不特別換到[0,1]也可以，做法都差不多
→ znmkhxrw    :所以真的只要G_b(y)→G(y) uniformly 即可??
→ znmkhxrw    :即G(y)€C[c,d] ?
→ wickeday    :是的，你可以去找有一個定理說若f_n和f_n'都均勻收斂
→ wickeday    :則(limf_n)'=lim(f_n')（條件應該還可以在弱一點）