作者realtemper (精彩不亮麗)
看板Math
標題Re: [其他] 一題組合級數
時間Sun Apr 1 16:33:27 2012
這可以數歸啊～跟一般作法沒什麼不同
一樣是在 n=N+1 的求和式裡面，把 n=N 的部份(已知)硬拆出來，剩下再硬算....
pf:
n (n+k)! n
假設 Σ ──── = 2 n! 在 n=N 時成立 (當然 n=0,1 時顯然成立)
k=0 k
2 k!
則 n = N+1 時
N+1 (N+1+k)! N+
1 (N+k)!
Σ ───── = Σ ──── (
N+1+
k)
k=0 k k=0 k
2 k! 2 k!
N (N+k)! N (N+k)!
(2N+2)!
=
(N+1) Σ ──── + Σ ────
k +
──────
k=0 k k=0 k
N+1
2 k! 2 k!
2 (N+1)!
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^
(1) (2) (3)
級數的已知部份 級數隨k變動的部份 多出來的一項
N N
(1) = (N+1) 2 N! = 2 (N+1)! (by n=N 成立之假設)
N (N+k)! 1
N-1 (N+1+k)!
(2) = Σ ──── = ─ Σ ─────
k=1 k 2 k=0 k
2 (k-1)! 2 k!
1
N+1 (N+1+k)! (2N+1)! (2N+2)!
= ─ [ Σ ───── - ───── - ────── ]
2 k=0 k N N+1
2 k! 2 N! 2 (N+1)!
^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
此即欲求之級數和,記為 x 把第N與N+1項扣回來
(因為還不知道 n=N+1 是否成立)
1 (2N+1)!
= ─ x - ────
2 N
2 N!
故
N 1 (2N+1)! (2N+2)!
x = (1) + (2) + (3) = 2 (N+1)! + ─ x - ──── + ──────
2 N N+1
2 N! 2 (N+1)!
1 N
─ x = 2 (N+1)!
2
N+1
x = 2 (N+1)! by 數學歸納法 QED
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╰╤ ｜ ｜｜ ｜｜｜ ｜ ╧═╧｜ ｜｜｜╒═╮╤ ╞╕╭═╪╛ ● ｜
咬我｜
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阿！｜
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◆ From: 114.27.8.97
→ realtemper :不過我也想知道不用數歸的看法.... 04/01 16:39
推 plkoij :C(N+1,k)的公式是不是有帶錯? 04/01 16:46
推 justinj :n=m時 C拆成2個..一個要補成m..一個要補成m-1..只要 04/01 16:49
推 justinj :證明2個補的東西亙相消掉就好了....當我要po時r大已 04/01 16:50
→ justinj :po了就算了.... 04/01 16:51
→ realtemper :樓上大大抱歉 我看不懂您的意思?! 04/01 16:58
推 plkoij :我看懂了~ 謝謝你~ r大~ 04/01 16:59
→ plkoij :寫得很清楚~感恩~^^ 04/01 17:00
推 justinj :C(n+k,k)=C(n+k,n)=C(n+k-1,n-1)+C(n+k-1,n) 04/01 17:00
推 justinj :前面的sum多了k=n..所以值為2^n-1+C(2n-1,n-1)/2^n 04/01 17:03
→ justinj :後面的sum少了k=n+1..所以值為S/2-C(2n,n)/2^(n+1) 04/01 17:05
→ justinj :S為要証的值...你只要後面多的2個亙消就ok了... 04/01 17:06
→ realtemper :唔！的確～謝謝樓上提點 04/01 17:56