Re: [微積] 向量積分

[GeeDuTu (雞督徒)]

※ 引述《chunhsiang (= =)》之銘言：
: az = z座標軸的單位向量
: aR = 球座標半徑的單位向量
: R = 0~a
: Θ = 0~pi
: Φ = 0~2pi
: ∫ {[z(az)-R(aR)]/[(z^2+R^2)^(3/2)]} R^2sinΘ dRdΘdΦ
: = (1/z^2)(4/3)(pi)a^3 az
: 為何沒有aR方向的量?
: 我把兩方向拆解 對aR用變數變化積出來應該不為零才對...
: 問題點在哪耶?

關於這個積分，θψ都沒有出現在積分裡面可以先算出來

 2π π
∫  ∫sinθdθdψ=4π
 0   0

問題就簡化成
        2                 3
 a    zr dr              r  dr
∫--------------  -∫-------------
 0 (z^2+r^2)^1.5     (z^2+r^2)^1.5

這兩個部分，單位向量先省略。


第一個部分:

        2
 a    zr dr          r=ztantdt
∫-------------
 0 (z^2+r^2)^1.5

         2               2
    z tan t dt        sec t-1
=∫------------ = z∫---------dt
      sec t           sec t

=z ln|sec t+tan t| +zsint


剩下的自己來吧



第二個部分

      3
 a   r  dr
∫-------------  乍看之下很難
 0 (z^2+r^2)^1.5

        2  2  2
  a   (r +z -z )rdr
=∫ -----------------   添加z^2以後拆開
  0   (z^2+r^2)^1.5

  a     rdr            a      rdr
=∫ ------------- -z^2∫---------------
  0 (z^2+r^2)^0.5      0 (z^2+r^2)^1.5


都用x=z^2+r^2的變數代換吧


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◆ From: 118.166.243.133
→ chunhsiang  :據了解單位向量不一定可提出積分外...所以才機不出來
推 ToMoveJizz  :坐標軸單位向量是常數可以提
→ chunhsiang  :你確定? d(ar)/d(phi) = r(a phi)
→ chunhsiang  :有上可知 你對 r(a phi) 做phi積分是ar才對
→ chunhsiang  :如果把r與單位向量提出得r*phi*(a phi)
→ chunhsiang  :所謂的單位向量可提出 是獨立才行 像直角座標皆可
→ chunhsiang  :但正交座標系統不一定適用