推 herstein :yes 04/09 16:53
推 bookticket :感謝您 這邊我觀念沒有弄清楚 有點誤解老師上課的意 04/09 18:18
→ bookticket :思 經你這麼一解釋 整個豁然開朗 大感激>"< 04/09 18:18
※ 引述《bookticket (XD)》之銘言：
: 想問的是Gilbert Strang書上
: 的P345的第5題
: =======================================================
: 假如 A是對稱矩陣,
: B是正定矩陣,
: C=A+B
: 那麼 根據 Rayleigh quotient的相關性質
: 說明 為什麼 C的第二小特徵值(c2) 比A的第二小特徵值(a2) 大
: =======================================================
: 書後面給的參考答案是:
: "由於 對於所有非零向量x, 我們有(x^T)Bx>0 , (此處的x^T表示是向量x的轉置)
: 所以 (x^T)(A+B)x 會比 (x^T)Ax 大.
: 因此 A+B的 Rayleigh quotient 會比 A的Rayleigh quotient大.
: 故實際上A+B 的n個特徵值 都會比A的特徵值大"
: =======================================================
M_n(|R) , x^T A x = <Ax,x>
用到 The min-max Theorem 其中的一個 Lemma 很快就證出了.
The min-max Theorem : http://ppt.cc/oEyl
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Lemma : Let S_k be a k dimensional subspace , if the eigenvalues of A are
listed in increasing order λ1 ≦ ... ≦ λk ≦ ... ≦ λn, then
there exists x in S_k, ||x|| = 1 such that <Ax,x> ≧ λk.
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a(S_k) = sup { <Ax,x> | all x in S_k ,||x||=1 } ≧ λk
λk = inf { a(S_k) | all S_k }
(x^T)(A+B)x 會比 (x^T)Ax 大
故實際上A+B 的n個特徵值 都會比A的特徵值大"
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※ 編輯: keroro321 來自: 59.112.233.241 (04/09 09:03)