Re: [中學] 2題大學推甄題

[XII (Mathkid)]

※ 引述《stu2005131 (星空)》之銘言：
: 1.令a,b,c為正整數
: 滿足(ab)^1/2+(bc)^1/2+(ca)^1/2
: 求[(a^2)/a+b]+[(b^2)/b+c]+[(c^2)c+a]之最小值

是 a^2/(a+b)+b^2/(b+c)+c^2/(c+a) 嗎?

: -----------------
: 想說用柯西可是柯不太出來...
: 後面稍微化簡了一下還是沒頭緒

a+b+c ≧ √(ab)+√(bc)+√(ca) = 1

[a^2/(a+b)+b^2/(b+c)+c^2/(c+a)][(a+b)+(b+c)+(c+a)] ≧ (a+b+c)^2 ≧ 1(a+b+c)

=> a^2/(a+b)+b^2/(b+c)+c^2/(c+a) ≧ 1/2

a=b=c=1/3 代入, 等號成立, 故最小為 1/2

: 2.三角形ABC中AB=AC
: 且AB上之中點至C之距離固定為10
: 試求頂角A為何值時會使得三角形ABC有最大面積
: 並求此最大面積值
: --------------------
: 想說令兩邊為2x
: 用餘弦定理+正弦面積公式
: 也是卡住
: 請大大幫忙囉>"<

設AB中點D, 固定DC, A點軌跡為阿波羅圓(直徑10+10/3=40/3)

故ABC面積最大為 (1/2)*10*(20/3)*2=200/3

此時 AD=10√5/3, cosA=4/5, ∠A=arccos(4/5)

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◆ From: 118.166.195.238
推 stu2005131  :a+b+c>=1那行怎麼得到的?
→ stu2005131  :為什麼柯西前面的部份都不用平方@@?
推 womi        :a+b+c=(a+b)/2+(a+c)/2+(b+c)/2 再用算幾不等式
→ womi        :阿波羅圓都忘這個東西= =(汗)
推 stu2005131  :從阿波羅圓推到最大面積的部份不太懂.
推 LPH66       :A 點在圓的最高點  因為這時以 DC 為底的高最大
→ LPH66       :這裡這高就是半徑 20/3
→ LPH66       :然後因為要求 ABC 面積所以把 ADC 面積乘以 2
推 stu2005131  :懂了!!  感謝