: 2.平面上三角形ABC,已知D,E分別在線段AB及線段BC上,且線段AD:線段BD=4:3
: 線段BE:線段EC=1:2,設線段AE和線段CD交於O點,若點O為三角形ABC之外心,求
: (線段AB)^2:(線段BC)^2:(線段CA)^2=______ Ans:10:9:4
請自己劃一下圖
令 角 ADO = X , 角 DOB = Y , 角 BOE = Z
1. 因為外心 所以 AO=BO=CO 又DO為公共邊
所以 三角形 ADO面積: BDO面積 = 4:3 = sin X : sin Y (正弦定理)
同理 sin Z: sin X = 1:2
因此 sin X : sin Y : sin Z = 4: 3 :2
2. 正弦定理 + O 為外接圓圓心
(線段AB)^2:(線段BC)^2:(線段CA)^2
= [sin (X+Y)/2]^2 : [sin (X+Z)/2]^2 : [sin (Y+Z)/2]^2
3. 另外劃一個 三角形 三邊長為 4, 3, 2 所對應的三個角為 X, Y, Z
利用餘弦定理可以算出 cos X = -1/4 , cos Y = 11/16, cos Z = 7/8
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推得 sin X, sin Y , sin Z
4. 和角公式 可以計算 cos (X+Y), cos (X+Z), cos (Y+Z)
5. 半角公式 可以計算 [sin (X+Y)/2]^2 , [sin (X+Z)/2]^2, [sin (Y+Z)/2]^2
就是答案了!
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