Re: [中學] 大學推甄題part2

[LPH66 (-858993460)]

※ 引述《stu2005131 (星空)》之銘言：
: 1.
:     ∞    n(n+1)
: 已知Σi =--------  ，請提出一個不要用數學歸納法而能直接倒出
:     i=1     2
: ∞       n(n+1)(2n+1)
: Σi^2 = ---------------的證明
: i=1           6
: --------------------------------
: 想不太到除了數學歸納法以外的方法Q____Q"
: --------------------------------
(n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1

於是

    2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
    3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
...
(n+1)^3 - n^3 = 3n^2  + 3n  + 1   (+
----------------------------------------
(n+1)^3 - 1^3 = 3Σi^2 + 3Σi + n

代 Σi 進去  整理一下就行了

: 2.
: 5個正整數a,b,c,d,e的乘積為9! 且滿足
: ab+a+b=524
: bc+b+c=146
: cd+c+d=104
: de+d+e=149
: 求a+b+c+d+e
四式兩邊都加 1 得

(a+1)(b+1) = 525
(b+1)(c+1) = 147
(c+1)(d+1) = 105
(d+1)(e+1) = 150

於是 b+1 是 (525,147) = 21 的因數
     c+1 是 (147,105) = 21 的因數
     d+1 是 (105,150) = 15 的因數

從 (b+1)(c+1) = 147 下手 (它的質因數比較少比較好分析)

因 147 = 3*7^2  於是 (b+1, c+1) 只能是 (7,21) 或 (21,7)

若 (b+1, c+1) = (7,21) 則 a+1 = 75, d+1 = 5, e+1 = 30

=> (a,b,c,d,e) = (74,6,20,4,29) 乘積顯然不是 9!

若 (b+1, c+1) = (21,7) 則 a+1 = 25, d+1 = 15, e+1 = 10

=> (a,b,c,d,e) = (24,20,6,14,9) 可以驗證乘積為 9!

於是 a+b+c+d+e = 73

: 3.
: 令〔X〕代表小於或等於x的最大整數值 若A為一實數且滿足
: 〔A+19/100〕+〔A+20/100〕+ .... ... +〔A+91/100〕=546
: 求A之範圍
: ----------
: 寫出來答案很奇怪..應該是算錯了
: 來求救一下=口=...
: ----------
加式共有 91 - 19 + 1 = 73 項

由 546/73 = 7 ... 35 可知這 73 項  前面 73-35=38 項是 7 後面 35 項是 8

也就是 (a+56)/100 < 8 ≦ (a+57)/100
           ↑                ↑
        第 38 項          第 39 項

由此即得 743 ≦ a < 744

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◆ From: 140.112.230.62
推 stu2005131  :感謝!!  第一個方法明明學過居然忘了 真是慚愧Q__Q
→ stu2005131  :PS:大大147的質因式分解手誤了
→ LPH66       :應該是你看錯了XD 因為這裡弄錯則 b,c 的討論要重寫
推 stu2005131  :我是指因 147 = 3*7^2  <--這裡手誤了
→ LPH66       :一個 3 兩個 7 沒錯啊 @@
推 stu2005131  :喔喔 是我看錯了 -  -..我以為你是打3*7*2..
→ stu2005131  :抱歉=口="