[代數] 幾題代數求救 > <

[air11 (拿出一張白紙...)]

之前有PO文來問過，然後自己有再想過，但還是不知道從何下手 > <

1. Identify the following rings:

            2
     Z[x]/(2x  -4, 4x-5)   , Z 是整數

    其實是有好幾個小題，但是幾乎都是這種類型。
    我知道那個東西其實就是 Z[x] / (2x^2 -4) / (4x-5)
    (有除完2x^2-4 之後再除4x-5的意思)
    我在想是不是要找的一個ring跟它isom??
    但是我不太知道如果不是monic的話怎麼做....


2. Let a be an element of of a ring R, & let R' be the ring R[x]/(ax-1)
   obtained by adjoining an inverse of a to R.
   Let α denote the residue of x (the inverse of a in R')

   Show that every element β of R' can be written in the form
    β=(α^k)b, with b in R

   我的問題是： R'=R[α], where α satisfies f(α)=0
   書上特別強調f(x)是monic這個條件，而這題的f(x)=ax-1，不是monic
   那應該怎麼做呢？？

3. describe the ring obtained from the product ring |R ×|R by
   inverting the element (2,0)
   實在看不懂這題要我做甚麼.....


感謝各位大大的提示 & 幫忙 :)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 123.194.200.158
→ keroro321   :一步步算,1.I=<2x^2-4,4x-5>=<7,x-3>,R is iso.to Z7
→ air11       :請問k大您的意思是一個一個拿來除嗎?!
→ air11       :不太懂那個等式怎麼來的QQ
推 jacky7987   :把x^2殺掉
→ air11       :我算了一下，發現(2x^2-4)*2-x(4x-5)=5(x-3)+7
→ air11       :所以k大的ideal就會對了...j大您的意思這樣嗎??
→ keroro321   :直接檢查兩邊互相生成.由定義去做.
→ air11       :所以k大的意思就是我推文的那段話?!
→ keroro321   :指7,x-3屬於<2x^2-4,4x-5> ;2x^2-4,4x-5屬於<7,x-3>
→ air11       :額外問個小問題，有沒有可能存在第二組f,g 使得
→ air11       :<2x^2-4,4x-5> = <f(x),g(x)> 呢??
→ Sfly        :有無窮多組
→ air11       :恩~所以說那個ring不只會isom Z7而已囉
→ air11       :大致上知道怎麼做了~~感謝各位大大的幫忙 ^^
→ keroro321   :I都是同一個,只能 isomorphic to Z7.
→ air11       :恩~~謝謝k大的講解 :D
→ sneak       : 請問k大您的意思是一個 https://muxiv.com
→ sneak       : 額外問個小問題，有沒有 https://daxiv.com