Re: [中學] 大學推甄題

[obelisk0114 (追風箏的孩子)]

※ 引述《tempestation (暴風雨的誘惑)》之銘言：
※ 引述《stu2005131 (星空)》之銘言：
: (1)
: 將長為a的線段任意分成三段,則分割後的三線段可構成一個三角形的機率為何?

設割成 x,y,a-x-y

可構成三角形: x + y > a-x-y & x + a-x-y > y & y +a-x-y > x

可得 x + y > a/2 & y < a/2 & x < a/2

將上面三式 x + y = a 畫在座標平面上
         y
          ↑
        a ∣
          ∣＼
          ∣  ＼
       a/2∣----＼
          ∣╲  ∣＼
          ∣  ╲∣  ＼
          ∣    ∣    ＼
          ∣    ∣      ＼
           ————————→
                a/2       a   x

            (a/2) (a/2)
機率 :    ---------------- = 1/4
                a*a/2
: (2)
: 甲,乙兩人連續擲一枚公正的硬幣，兩人約定若每次出現正面時 乙給甲ㄧ元
: 出現反面時，甲給乙一元。今甲有a元 乙有b元
: 請問甲將乙的錢全都贏來的機率為何?
: 反之乙將甲的錢全都贏來的機率為何?


: (3)
: 令P為正質數，n為正整數,K為介於[0,n]的整數，
: 求不大於P^K且與其互質的正整數個數有多少個?

  n 似乎是多餘的。 若 K=0，則 P^K = 1。因為 1 與 1 互質，故為 1 個。

  設 K >= 1 。先找出不大於 P^K 且與 P^K 不互質的正整數個數。與 P^K 不互質的正整

  數即所有 P 的(正)倍數。列出不大於 P^K 的所有正整數為一數列，即

  1, 2, ..., P , P+1, ..., 2P, 2P+1, ..., 3P, ......, P^K-P, P^K-P+1, ..., P^K

  觀察可得每 P 個數中有一個 P 的倍數，故共有 P^K / P = P^(K-1) 個。

  故所求為 P^K - P^(K-1) = (P-1)‧P^(K-1) 個。

  註：此為 Euler phi function 之特例。

: (4)
: 若a,b與c為自然數且滿足a^2 +b^2 =c^2，請證明三數乘積為30的倍數

  利用反證法，分別證明 abc 為 2, 3 和 5 的倍數。

  1) 設 abc 不為 2 的倍數，則 a, b, c 皆為奇數，故 a^2, b^2, c^2 皆為奇數，與

     a^2 + b^2 = c^2 矛盾。 ("奇數 + 奇數 = 奇數" 不可能。)

  2) 設 abc 不為 3 的倍數，則 a, b, c 除以 3 的餘數為 1 或 2，故 a^2, b^2, c^2

     除以 3 的餘數只可能為 1，與 a^2 + b^2 = c^2 矛盾。 (左式除以 3 餘 2，右式

     除以 3 餘 1。)

  3) 設 abc 不為 5 的倍數，則 a, b, c 除以 5 的餘數為 1 或 2 或 3 或 4，故 a^2

     , b^2, c^2 除以 5 的餘數只可能為 1 或 4， 與 a^2 + b^2 = c^2 矛盾。 (左式

     除以 3 的餘數只可能為 0 或 2 或 3， 右式除以 3 的餘數只可能為 1 或 4。)

  註： 此為 同餘 (modular arithmetic) 的應用。

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推 stu2005131  :感謝!
推 tempestation:第1題：好平易近人的解法！推！(但我算出來是1/4耶)
→ tempestation:應該是另外兩條： x+(a-x-y)>y => y<a/2 同理 x<a/2
→ tempestation:所以只有 {(x,y): x+y>a/2, x<a/2, y<a/2} 那塊？
感謝指正
※ 編輯: obelisk0114     來自: 140.112.245.27       (04/13 03:26)
→ obelisk0114 :第一題還可以用極限逼近去解,不過還是這種解法簡單
→ tempestation:「任意切割」其實有點語焉不詳。我們是理解成(x,y)在
→ tempestation:{(x,y): x>0, y>0, a-x-y>0} (大三角形內)上 uniform