推 clarelee666 :沒錯~~感謝~!! 04/14 11:05
推 thisday :上篇我誤會了對不起QQ 推^^ 04/15 11:34
※ 引述《clarelee666 (無)》之銘言：
: 標題: Re: [中學] 代數請益
: 時間: Wed Apr 11 22:48:54 2012
:
: ※ 引述《winnerofblue ()》之銘言：
: : a b 為 x^2 + cx + d =0 兩根
: : c d 為 x^2 + ax + b =0 兩根
: : 求 a+b+c+d = ?
:
: a+b=-c,c+d=-a
: =>a+c=-b=-d
: =>b=d
:
: ab=d,cd=b=>a=d/b,c=b/d
:
: a+b+c+d=-(a+c)=-(b^2+d^2)/bd=-(2b^2/b^2)=-2
clarelee666兄的解法其實有點小問題..
如推文所說 b=d=0的時候 x^2 + cx + 0 =0 => x(x+c) = 0 解是 "0和-c"
x^2 + ax + 0 =0 => x(x+a) = 0 解是 "0和-a"
推得"a = -c" 然後 a+b+c+d=0 就會出現與你不同的答案...= =A
或者更簡單點 a=b=c=d=0的時候 也會是這樣
更要命的是 不能保證還有沒有其他的例子或解答
顯見這個解法其實是有問題的
==========以下正文===========
稍微修改一下你的解法如何??
(1) 由根與係數關係得 a + b =-c c + d =-a
兩式推得 a + c = -b 和 a + c = -d 得出 -b = -d 也就是 b = d
(2) 令 x = b = d 代入原本兩個方程式
得 d^2 + cd + d = 0 (其實應該要代 x = b 但因為 b = d 所以沒差)
和 b^2 + ab + b = 0 (同上)
以上兩條式子可以推得 d(d+c+1) = 0 和 b(b+a+1) = 0 這樣
Case1: b = d = 0 的狀況下 如前面推文所說
原式可以改寫成 x(x+c) = 0 和 x(x+a) = 0
得出 a = -c a+b+c+d = -c+0+c+0 = 0 (第一種解)
Case2: b = d ≠0 的狀況 只好(b+a+1)和(d+c+1)這兩個都是0了
這時候才會是 a+b+c+d = -2 這樣 也就是clarelee兄所解出的答案
這種方式的好處是同時解出兩種答案 也保證不會有其他解答
我認為算是比較適當的解法 :)
=========以下閒聊============
clarelee兄的問題可能是 ab=d,cd=b=>a=d/b,c=b/d 這行
這裡的寫法其實就隱含了 "b和d都不是0"這件事了
會少一個答案其實不是讓人很意外...
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