作者herstein (翔爸)
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標題Re: [微積] 積分面積為負??
時間Sun Apr 15 19:12:20 2012
Q1.面積會不會有負?
A:面積定義為非負的數，所以不為負數。
Q2.不然你對物體做負功時怎麼辦，微積分不能用了嗎?
A:負功跟面積是兩種不同的觀念。
Q3.如果要求f(x)=(x+1)(x-1)和x軸所圍出的面積時，是否要使得面積為正?
A:YES。你如果要求面積的話，你必須求|f(x)|的積分，而不是f(x)的積分。
說明:雖然黎曼積分的概念是來自於求面積，但是黎曼積分積出了的並不是函數圖形與x包
夾出來的面積。他是某種無窮求和的過程。
Q4:就說要看你對面積的定義是什麼，能不能有方向性。
A:面積不會有方向性。有向面積是面積+方向性的產物。所以有向面積的概念比面積多了方
向性的觀念。單純講面積就是一個非負的數。
推 doom8199 :數學上的面積定義不是都≧0嗎, 我覺得不能跟物理上 04/15 10:25
→ doom8199 :的做功混為一談。 就像物理上的平移量可以是負值 04/15 10:26
doom8199說的是正確的。
condensed:在三維歐氏空間中，兩向量的外積，就能定義出有方向性的面積向量了。這其
實是一種二階反對稱張量，當然是可以有方向性的。
說明:我們只是把外積拿來做這樣的理解，但並非把外積拿來當作面積。反對稱張量未必要
有方向性的概念。只要滿足T_ij =-Tji的二階張量就稱為反對稱張量。而方向性在數學中
精確的定義是基底族的某種等價類。而二階反對稱張量的定義並不仰賴於這種等價類的概
念。
condesned:至於長度，這在數學上又是另一概念。它指的是透過度規張量，將向量映射到
R^1所得的值。
說明:相對論中的度規張量是假的。雖然它看起來很像度規張量。一般來說metric tensor
要求正定。物理學家在相對論中省略了pseudo-Riemannian的字眼，因為大家在相對論中的
約定metric tensor為pseudo-Riemannian metric tensor。這是屬於相對論的特殊用法，
但一般來說，我們不會稱非正定的二階對稱張量為metric tensor。
condensed: 這怎麼能和張量混為一談了。在Minkowski時空中，兩點間的距離可以小於或
等於零。
說明:距離函數是不會有兩點距離小於零的這回事。Minkowski space他並不是metric
space但他是pesudo-metric space(偽賦距空間或仿賦距空間)
condensed:怎能說沒有負值？我拿物理當例子，只是方便板友理解。和物理定律如何根本
無關。 物理上能用，就是因為相應的數學是正確的。
說明:數學是透過精確的定義建立起來的學問，所以定義必須要非常精確。或許概念是從某
個地方來，但在某時候，如果定義給人產生了誤解，你就必須要更進一步的給出精細的定
義直到不產生誤解為止。
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◆ From: 88.77.140.115
※ 編輯: herstein 來自: 88.77.140.115 (04/15 19:26)
推 Lindemann :推,好文 04/15 19:35
推 condensed :謝謝，這理由我同意。這就真的純粹是定義的問題了。 04/15 19:42
Yes,定義問題
→ condensed :和d某說的討論場合或領域云云，毫無關係。 04/15 19:44
跟場合有關係，在相對論的場合講metric跟在黎曼幾何中講的metric不太一樣。這是因為
不同領域間，使用的術語有點差異，所以為了避免讓人產生誤解所以我把這之間的差異指
出來。
→ WINDHEAD :方向可以用sheaf來描述,更精確地說,是dualizing 04/16 02:09
→ WINDHEAD :complex 在適當維數的上同調sheaf (被毆飛~~) 04/16 02:10
→ herstein :樓上這樣講人沒看懂XD 04/16 02:11
推 TassTW :五樓專業 04/16 05:25
五樓專業
推 doom8199 :若是定義問題，那某c一直說別人胡扯是在說心酸嗎 04/16 08:11
→ doom8199 :從頭到尾就是你把物理當數學，把數學當一般用語 04/16 08:12
→ doom8199 :只會用瞎說等字眼帶過問題 04/16 08:12
→ doom8199 :講難聽一點，你這就好像是基督徒叫佛教徒不能拜拜 04/16 08:13
→ doom8199 :只會言云定義問題，然後一直說佛教語是瞎說胡扯 04/16 08:14
→ doom8199 :若你經不起別人指正，我大可不說 04/16 08:19
→ doom8199 :但可搞清楚你是站在何種立場下在談論事情嗎 04/16 08:19
施主~~當別人無法用理來回應你，但是你還是以理來回應，才有辦法做學術討論。
不然二位施主就會像慕蓉博與蕭遠山施主一樣，到時候冤冤相報何時了。
→ PaulErdos :那id常在家教相關板面出現 很好奇他是不是都拿大學 04/16 15:03
→ PaulErdos :物理數學來舉例回答學生問題 學生如果想討論會不會一 04/16 15:04
→ PaulErdos :直被他罵瞎扯、活在自己世界 04/16 15:05
因為被m了，所以我把版面整理。
※ 編輯: herstein 來自: 195.37.209.182 (04/16 21:26)
※ 編輯: herstein 來自: 195.37.209.182 (04/16 21:29)
推 tku3124 : .....這個很重要 08/26 19:06